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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. August, 1999 - 17:45: | 
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Wie zeige ich, daß die Funktion f mit
f(x)=x² ,falls x kleiner 0
f(x)=exp(-x), falls x größer 0
stetig ist. |
Basti
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. August, 1999 - 10:42: |
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Hi,
das hängt von ein paar Sachen ab...
Was ist Eure Definition von stetig? Wieviel wißt ihr schon von stetig?
Wenn ihr schon wißt, daß f(x)=x stetig ist, und daß das Produkt zweier stetiger Funktionen stetig ist, dann ist auch f(x)=x²=x*x stetig.
So ähnlich mit exp(-x). Wenn Ihr schon wißt, daß f(x)=exp(x) und f(x)=1 stetig sind, und daß der Quotient (wenn Nenner ungleich Null) zweier stetiger Funktionen stetig ist, dann ist f(x)=exp(-x)=1/exp(x) stetig. (exp(x) ungleich Null für alle x). |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. August, 1999 - 23:28: |
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Das entscheidende fehlt aber : f setzt sich nämlich aus zwei Bereichen zusammen(zumindest der Formulierung nach) und besitzt bei x=0 eine Unstetigkeitsstelle,da 02=0 und exp(-0)=1¹0
f ist also bei x=0 nicht stetig ! |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. August, 1999 - 02:22: |
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Fehler!!! f ist bei x=0 gar nicht definiert. Dieses Beispiel zeigt, daß man beim zeichnen stetiger Funktionen manchmal sogar absetzen muß.
Zum Beispiel ist die Funktion
h(x):=0 falls x kleiner 1
h(x):=1 falls x größer 2
stetig. Oder wie wär's mit
h:IN->IR , x->h(x):=(-1)^x.
Wenn man das beweisen will, ohne auf den Begriff des topologischen oder metrischen Teilraumes zurückzugreifen, muß man sich die Definition der Stetigkeit von auf Teilmengen der reellen Zahlen definierten Funktionen nochmal genau anschauen:
Sei A eine Teilmenge von IR und a Element von A (!!!).
Dann heißt f:A->IR stetig in a, wenn es zu jedem e größer 0 ein d größer 0 gibt, so daß
|f(x)-f(a)| kleiner e für alle x element A (!!!) mit |x-a| kleiner d
gilt. |
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