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Jacqueline (Jacqueline)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 13:30: | 
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Gegeben sei eine Funktionsschar:
(x² - k) /(x² + k) + x wobei k > 0
Aufgabe: Zeige, dass sich alle Funktionsgraphen im Punkt P (0/-1) berühren.
Jacqueline |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 10:37: |
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Hi Jacqueline,
Wir müssen nachweisen ,dass die Funktionenschar
fk = fk(x) (Scharparameter k >0) die beiden folgenden
Eigenschaften hat.
1
Es gilt fk(0) = - 1 für alle k
Die Funktionswerte für x = 0 sind für jedes k
an der Stelle x = 0 minus 1.
Von der Richtigkeit der Aussage kannst Du dich
durch Einsetzen von x = 0 in die Funktionsgleichung
überzeugen.
2.
f '( 0 ) = C (konstant) für alle k
Die Ableitungen an der Stelle x = 0 stimmen für
alle k-Werte überein; dies bedeutet, dass alle Kurven in P
dieselbe Tangente haben und sich daher berühren.
Nachweis: Damit wir bequemer ableiten können
Schreiben wir fk(x) etwas um:
fk(x) = (x^2 + k -2k) / ( x^2+k) + x =
= 1 - 2k / ( x^2 + k) + x
Ableitung
Beachte: Die Ableitung von y =1 / g(x) ist
y ' = - [g'(x)] / [g(x)] ^ 2 , somit:
fk'(x) = 4*k*x / [x^2+k]^2 + 1 , setze x = 0
Es kommt fk'(0) = 1 heraus für alle k
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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