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Abstandsberechnung

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Sue
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Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 16:59:   Beitrag drucken

Wer kann helfen?
Gegeben: E: 2x-2y+z=6 ; A(2/1/0), B(9/5/4)
Welche Punkte auf g(A,B) haben von E den Abstand [d]= 2 ?

- Welche Punkte der Geraden:
g: xVektor= (2/1/8)+k(-3/0/4) habe von der x-y-Ebene den Abstand 5LE?
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 20:27:   Beitrag drucken

Hi Sue,

Der Lösungsweg für die erste Teilaufgabe
ist der folgende:
Wir bestimmen die beiden zu E parallelen Ebenen
P1 und P2 im Abstand 2 in Abschnitt A]

Die Schnittpunkte S1 und S2 von g mit P1 und P2
sind die gesuchten Punkte; Ermittlung
in Abschnitt B]

A]
Wir ermitteln P1 und P2 mit der Hesseschen Formel
Gleichung von E in Normalform:
(2x -2y + z -6) / 3 = 0 ; Der Nenner N ist die
Quadratwurzel aus der Quadratsumme der Koeffizienten
von x,y,z , somit N = wurzel (2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1)
Die Abstandsbedingung wird realisiert :
(2x - 2y + z - 6) / 3 = (plus oder minus) 2
Das Pluszeichen führt auf die Gleichung von P1,nämlich:
P1 : 2 x -2 y + z = 12
Das Minuszeichen ergibt
P2 : 2x - 2 y + z = 0.

B]
Richtungsvektor v = AB von g: v = { 7; 4; 4 }
Parametergleichung für g:
x = 2 + 7 t , y = 1 + 4 t , z = 4t eingesetzt in die
Ebenengleichungen für P1 und P2:

P1: 2*(2+7t) - 2*(1+ 4t) +4t = 12 , daraus t = 1,
somit erster gesuchter Punkt : S1 ( 9 / 5 / 4 )

P2: 2*(2+7t) - 2*(1 + 4t) + 4t = 0 , daraus t = -1/5
somit zweiter gesuchter Punkt : S2 (3/5; 1/5; -4/5)

Die zweite Teilaufgabe ist fast trivial; Lösung auf Anfrage.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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