| Autor |
Beitrag |
    
Heike (Taki)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 11:33: | 
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f(x)=e^x *Wurzel aus (1 + e^x)
a) Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graph, der x-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen x=a und x=b (b>a) begrenzt wird!
b) Bestimme den Grenzwert A(b) dieses Inhalts für a-> - unendlich
c) Für welchen Wert von b halbiert die y-Achse die Fläche mit dem Inhalt A(b)?
d) Die von den Graphen, der x-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen x=a (a<0) und x=0 begrenzte Fläche rotiere um die x-Achse. Berechne den Rauminhalt V(a) des entstehenden Drehkörpers sowie lim V(a) [a-> - unendlich] |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 13:39: |
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Hallo,
f(x)=ex*W(1+ex)
a)
Wir benötigen zuerst mal das Integral
I=ò ex*W(1+ex)*dx
Substitution:
u=1+ex
du=exdx also: dx=du/ex
I=ò ex*W(u)*du/ex=ò W(u)*du=
=(2/3)u3/2 = (2/3)(1+ex)3/2
=======
Die Fläche von a bis b ist dann:
A = (2/3)(1+eb)3/2 - (2/3)(1+ea)3/2
=====================================
b)
Für a-> -oo
geht ea -> 0
und A(b)-> (2/3)*[(1+eb)3/2 - 1]
=============================
c)
Es muss gelten:
ò-oo 0f(x)*dx = ò0 bf(x)*dx
Fläche von -oo bis 0:
(2/3)(2)3/2 - 2/3 = (4/3)W(2) - 2/3
========
Fläche von 0 bis b:
(2/3)(1+eb)3/2 - (2/3)*23/2=
=(2/3)(1+eb)3/2 - (4/3)W(2)
============
Beide Flächen gleichsetzen:
(4/3)W(2)-2/3 = (2/3)(1+eb)3/2-(4/3)W(2)
(8/3)W(2)-2/3= (2/3)(1+eb)3/2
4W(2)-1 = (1+eb)3/2
(4W(2)-1)2/3 = 1+eb
eb = (4W(2)-1)2/3-1
b= ln[(4W(2)-1)2/3-1]
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Numerisch: b= 0,581465...
Fläche links = Fläche rechts = 1,21895...
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d)
Keine Zeit mehr. |
Heike (Taki)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 15:30: |
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Ich danke dir, du lieber Mensch! Wenn ich mal was für dich tun kann - einfach mal melden. Vielleicht bekommst du oder auch jemand anderes ja auch noch d) f heraus. Vielen Dank auf alle Fälle! |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. November, 2000 - 16:39: |
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Jetzt noch schnell der Schluss:
d)
Volumen:
V=òa 0pf(x)²*dx
f(x)²=e2x(1+ex = e2x+e3x
V=pòa 0(e2x+e3x)dx=
=p*[½e2x+(1/3)e3x|a0
V=p(5/6-½e2a-e3a/3)
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Für a-> -oo V-> (5/6)p
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