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Beitrag |
    
Melanie
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 14:09: | 
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Ich soll die Gleichung
2a=((e+x)Quadrat)Wurzel+((e-x)Quadrat)Wurzel zu
xQuadrat yQuadrat
-------- + -------- =1 umstellen.
aQuadrat bQuadrat
Ich habe es schon sehr oft probiert, aber ich bin bereits am Verzweifeln. Leider muß ich die Aufgabe schon morgen haben. Es wäre schön, wenn bald eine Antwort bekommen würde.
Verzeihung, wegen der komischen Schreibweise der Formeln. Danke! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 15:41: |
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Hi Melanie,
in Deiner Schreibweise komme ich mit dem "Wurzel" nicht klar.
Meinst Du:
A) 2*a = Wurzel[(e+x)2] + Wurzel[(e-x)2]
oder meinst Du
B) 2*a = Wurzel[(e+x)2 + (e-x)2]
Das letztere fände ich vernünftiger um daraus eine Ellipsengleichung zu machen.
Kannst Du bitte mal schreiben, ob A) oder B) wirklich richtig ist.
Gruß
Matroid |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 16:31: |
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Hi Melanie,
Zuerst rekonstruieren wir Deine Aufgabe
und formulieren sie neu.
Die Spurensuche hat folgendes ergeben.
Du sollst aus der Ortsbedingung für die Ellipse
in Mittelpunktslage deren Koordinatengleichung
herleiten.
Gegeben sind die beiden Brennpunkte auf der x-Achse:
F1(-e/0) und F2(e/0) ; e ist die lineare Exzentrizität,
a die grosse Halbachse der Ellipse
Ist P(x, y) ein laufender Punkt auf der Ellipse,
so gilt die Bedingung:
Abstand(P, F1) + Abstand (P, F2) = 2 * a
In die Sprache der analytischen Geometrie übersetzt:
wurzel[(x+e)^2+ y^2] + wurzel[(x-e)^2+y^2] = 2a
Wir quadrieren und erhalten:
(x+e)^2 + y^2 +2* W1*W2 +(x-e)^2 + y^2 = 4a^2...(I)
wobei gilt:
W1 = wurzel[ ( x + e) ^ 2 + y ^ 2 ] .............................(II)
W2 = wurzel [ (x - e ) ^ 2 + y ^ 2 ] .............................(III)
(I) wird vereinfacht: x^2+y^2 + e^2 +W1 * W2 = 2 * a^2
Jetzt führen wir eine Abkürzung ein:
x^2 + y^2 + e^2 = s , damit wird aus der letzten Gleichung:
s + W1*W2 = 2* a^2 .................................................(IV)
mit
W1 = wurzel [ s + 2*e*x ] , W2 = wurzel [s - 2*e*x ] , daraus
W1 * W1 = wurzel [ s^2 - 4* e^2 * x^2] , damit wird aus (IV),
wenn wir die Wurzel isolieren:
wurzel [s^2 -4*e^2*x^2 ] = 2*a^2 - s ; wir quadrieren nochmals
s^2 - 4*e^2*x^2 = 4*a^4 -4*a^2 *s + s^2 ; vereinfacht:
a ^ 2 * s - e ^ 2 * x ^ 2 = a ^ 4
Jetzt ersetzen wir s durch x ^ 2 + y ^ 2 + e ^ 2
und führen die kleine Halbachse b durch die Beziehung
a ^ 2 - e ^ 2 = b ^ 2 ein ; es kommt :
a^2*[x^2 + y^2 + e^2] - e^2 * x^2 = a ^ 4 oder:
(a^2-e^2) * x^2 + a^2 * y^2 = a^4 -a^2*e^2 = a^2 * ( a^2 - e^2)
also endlich:
b^2 * x ^ 2 + a ^ 2 * x ^ 2 = a ^2 * b ^ 2 und das ist die
bekannte Ellipsengleichung; wenn Du noch mit a^2*b^2
dividierst, bekommst Du die gesuchte Form
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Melanie
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 19:10: |
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2*a = Wurzel ((e+x)2+y2) + Wurzel ((e-x)2+y2)
muß ich zu x2 y2
-- --
a2 + b2 =1 umstellen.
Hatte erst y2 vergessen. Sorry!
Ich weiß, dass ich für e2 a2+b2 einsetzen kann
und die Wurzel beseitigt werden muß, bevor ich
die Klammern auflösen kann. Irgendwann komme
ich aber nicht mehr weiter. Danke für deine Hilfe! |
Melanie
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 20:06: |
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Es ist die Gleichung
x2 y2
-- + --
a2 b2 gemeint.
Im voherigen Brief hat das Programm ja was ziemlich komisches aus der Gleichung gemacht. |
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