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Beitrag |
    
Dani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 16:32: | 
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Hallo,
Bei der nachstehenden Aufgabe komme ich nicht
auf eine Lösung.
Wer könnte mir helfen ?
Man bewese die beiden goniometrischen Relationen
a) cos (2 Pi/7) + cos (4 Pi/7) + cos (6 Pi /7) = - 1 /2
b) sin ( Pi/14) sin(3 PI/14) sin (5 Pi/14) = 1/8
Dank zu voraus !
MfG
Dani
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 07:17: |
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Hi Dani
Beim Beweis der Relationen
a) S = cos (2 Pi / 7) + cos (4 Pi / 7) + cos (6 Pi / 7) = - 1 /2
b) P = sin ( Pi / 14)*sin (3 PI / 14) * sin (5 Pi /14) = 1 / 8
möchte ich bewusst auf die Verwendung passender
Einheitswurzeln verzichten.
Der Beweis funktioniert grundsätzlich auch mit
der Anwendung einfacher und bekannter
goniometrischer Formeln; es sind dies die Beziehungen:
2 sin u * sin v = cos (u - v) – cos (u + v)..................(H1)
2 cos u * cos v = cos (u + v) + cos ( u – v )…………(H2)
Teilaufgabe a)
Sei A = 2 * S + 1 , also :
A = 2 cos (2 Pi/7) + 2 cos (4 Pi/7) + 2 cos (6 Pi/7) + 1
Wir zeigen auf eine echt raffinierte Art, dass A = 0 gilt !
Das geht so:
Multipliziere A mit cos (2Pi/7) und wende die
Hilfsformel (H2) mehrmals an; es kommt:
A* cos (2Pi/7) = 2 cos (2 Pi/7)* cos (2Pi/7 +
+2 cos (2Pi/7)* cos (4Pi/7) + 2 cos (2Pi/7)* cos (6Pi/7) +
+ cos (2Pi/7) =
cos(4Pi/7) + cos 0 + cos (6Pi/7) + cos (2Pi/7) + cos(8Pi/7) +
cos(4Pi/7) + cos(2Pi/7).
Wegen cos (8Pi/7) = cos (6Pi/7) kommt:
A* cos (2Pi/7) =
= 2 cos (2 Pi/7) + 2 cos (4 Pi/7) + 2 cos (6 Pi/7) + 1
Der Term rechts stimmt mit A vollständig überein, mithin:
A* cos (2Pi/7) = A, woraus sofort A = 0 folgt, w.z.b.w.
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Teilaufgabe b)
Sei B(x) = 8 * sin(x) * sin(3x) * sin(5x) * sin(7x) ;
zu zeigen ist:
für x = Pi/14 gilt B(Pi/14) = B* = 1
nota bene: für x = Pi/14 entsteht für
den letzten Faktor von B(x) : sin(7x) =1.
Dieser Faktor spielte somit die Rolle eines
veritablen Dummy .
Umformung von B(x) mit der Hilfsformel (H1):
B(x) = 2 [2 sin(x) * sin (7x)] * [2 sin (3x ) * sin (5x)] =
= 2 * {cos (6x) – cos (8x)} * {cos (2x ) – cos (8 x)}
Daraus:
B* = B(Pi/14) =
= 2*{cos (3Pi/7) - cos(4Pi/7)}* {cos(Pi/7) - cos(4Pi/7)}
Beachte:
cos(4Pi/7) = - cos (3Pi/7), daher gilt:
B* = 2* 2 cos (3Pi/7) * [cos(Pi/7) + cos(3Pi/7] =
= 4 * [ cos (3Pi/7) cos(Pi/7) + cos(3Pi/7)*cos(3Pi/7) ]
Mit Formel (H2) kommt:
B* = 2* [cos(4Pi/7) + cos(2Pi/7) + cos(6Pi/7) + cos (0) ]
Gemäss Teilaufgabe a) gilt:
cos (2 Pi / 7) + cos (4 Pi / 7) + cos (6 Pi / 7) = - 1 /2
Wenden wir dies auf die eckige Klammer an, so entsteht:
B* = 2 * [- ½ + 1 ] = 1, was zu zeigen war (w.z.z.w.).
Zusatz
Allgemeiner gelten folgende Formeln:
sin (Pi/18)*sin(3 PI/18)*sin(5 Pi/18)*sin(7 Pi/18) = 1/16
sin (Pi/22)*sin(3PI/22)*sin(5Pi/22)*sin(7Pi/22)*sin(9Pi/22) = 1/32
u.s.w.
MfG
H.R.Moser,megmath |
Dani
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 20:23: |
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Hallo Megamath,
Vielen Dank für die interessanten Herleitungen !
MfG
Dani
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