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Carmen
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 15:35: | 
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Hallo erstmal!
Ich suche dringend die Polstellen und die Asymptotenfunktion zu folgenden Funktionen:
1. f(x)= x^2/x^2-1
2. f(x)= x^3/x^2-1
3. f(x)= x/x^2-1
Ich wäre sehr dankbar für eine schnelle Hilfe. Wenn möglich mit Erklärungen. Danke schon mal!
Carmen |
Markus
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 08:36: |
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Moin, moin ,
hier erst die Definition einer Polstelle :
eine Stelle im Graphen, bei der der Nenner Null
wird. (=nicht definiert !!)
Asymptote : laß f(x) gegen unendlich laufen und
schau nach dem Funktionswert.
Jetzt am konkreten Beispiel
1. Polstelle (Nenner Null) bei x^2-1=0 ->x=1 und-1
Asymptote ist 1, z.B. bei x=100 :
(10000)/(10000-1) = 10000/9999 (=knapp eins)
2. Polstelle wieder 1 und -1
Asymptote ist unendlich, da f(x) divergent,
z.B. 1000/(100-1) (x=10) ->1000/99 usw.
wird also immer größer
3. Polstelle : na wo wohl?
Asymptote diesmal die 0, z.B.x=10 und 100 :
10/(100-1)=10/99 > 100/(10000-1)=100/9999
Wie man das zeichnerisch darstellt ?
Polstellen schon mal gar nicht (=Lücke im Bild),
zumindest nicht mit der gegebenen Funktion.
Asymptote : unendlich geht nicht, Null = Gerade
auf der x-Achse (da y=0), andere Zahl
= waagerechte Gerade an y-Wert
WM_ichhoffedashilft Markus |
At
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 22:10: |
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Polstellen bei gebrochenrationalen Funktionen (diese liegen bei dir vor!) sind x-Werte, für die der Nenner Null wird. Der Zähler muss allerdings für diese Werte ungleich Null sein.
Deine Nenner lauten für alle drei Funktionen:
x^2-1
x^2-1=0 <=> x^2=1 <=> |x|=1 <=> x1=1 v x2=-1
Die Zähler sind für diese Werte immer ungleich Null. Also heißen die Polstellen 1 und -1.
Eine Asymptote ist eine Näherungskurve, der sich ein Funktionsgraph einer Funktion f für x gegen plus bzw. minus unendlich (x --> +- oo) annähert.
Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es Regeln:
1) Ist der Zählergrad (höchster Exponent von x des Zählers) kleiner als der Nennergrad (höchster Exponent von x des Nenners), so ist die Asymptote die x-Achse (y=0). Erläuterung: Der Nenner wächst für x gegen plus/minus Unendlich viel schneller als der Zähler, der Quotient geht also gegen Null.
Dies ist bei deiner 3. Funktion der Fall: Zählergrad=1, Nennergrad=2, Asymptote: y=0
2)Ist der Zählergrad=Nennergrad, so ist die Asymptote der Quotient der Koeffizienten (Beizahlen) der höchsten Potenzen von x im Zähler und im Nenner.
Dies ist bei Deiner 1. Funktion der Fall: Höchste Potenz von x ist im Zähler und Nenner x^2. Die Koeffizienten sind jeweils 1 (1*x^2). Also heißt die Asymptote y=1/1=1 (Parallele zur x-Achse im Abstand 1)
3) Ist der Zählergrad > Nennergrad (Deine Funktion 2), so erhälst Du die Asysmptote durch geschicktes Ausklammern oder durch Polynomdivision.
geschicktes Ausklammern (meist höchste Potenz des Nenners)bringt:
x^3/(x^2-1)=x^3/[x^2(1-1/x^2)]=x/(1-1/x^2). Für x gegen +-oo geht 1/x^2 gegen Null, der letzte Term nähert sich also immer den Werten von y=x (=Asymptote).
Allez Dann!
At |
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