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FP
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 15:07: | 
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Ich bekomme einfach nichts sinnvolles heraus, hab schon alles probiert, ich brauche dringend einen neuen Lösungsansatz !!!!!!!!!!
Einem Kegel soll ein zweiter mit möglichst großem Volumen so eingeschrieben werden, dass die Spitze des zweiten Kegels im Mittelpunkt des Grundkreises des ersten Kegels befindet |
The (Fireangel)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 15:45: |
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Das Volumen eines Kegels ist ja Grundfläche*Höhe*1/3. Wenn du bei dem ersten Kegel Höhe und Radius der Grundfläche kennst, kannst du die Mantellänge (Verbindungslinie Spitze-Grundkreis) mit Pythagoras berechnen. Der eingeschriebene Kegel hat eine Grundfläche, die sich aus dem Kreis auf der Mantelfläche (parallel zum Grundkreis des Ausgangskegels) in der Höhe des Innenkegels errechnen lässt. Diese Höhe ist variabel. Mit der Variablen Höhe und dem Grundkreisradius des Ausgangskegels kannst du per Pythagoras ein Stück der Mantellinie bestimmen. Der Rest der Mantellinie ergibt mit dem Rest der Höhe des Ausgangskegels und dem Radius des Grundkreises des Innenkegels wieder ein rechtwinkliges Dreieck, so dass man also den Radius des Grundkreises des Innenkegels in Abhängigkeit von der Höhe des Innenkegelsbeschreiben kann. Dadurch erhält man eine Formel für das Volumen des Innenkegels mit nurmehr einer Variablen, deren Maximum nun nur noch zu bestimmen ist.
Ich hoffe, du steigst da durch, mit 'ner Zeichnung wär's einfacher(Mach dir vielleicht mal 'nen Querschnitt durch einen Kegel und versuch' daran mein Gerede zu durchblicken). |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 22:37: |
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Hi FP ,
Wir lösen Deine Extremalaufgabe für einen
äusseren Rotationskegel, dessen Radius R und
dessen Höhe H als Konstante gegeben sind
Die entsprechenden Daten des inneren Rotationskegels
sind die Variablen r für den Grundkreisradius und h
für die Höhe h..
In einem Achsenschnitt erkennt man aus den beiden
gleichschenkligen Dreiecken mit dem zweiten Strahlensatz
die Proportion : :
r : R = ( H - h) : H, daraus:
h = H / R * ( R - r )....................................................(1)
Diesen Wert für h setzen wir in die Volumengleichung
für den inneren Kegel ein; der Reihe nach kommt für
dessen Volumen V:
V =1/3*Pi * r^2*h = 1/3*Pi * H / R * [ R * r ^ 2 - r ^ 3 ]
Wir konzentrieren unsere Aufmerksamkeit auf den Inhalt f ( r )
der eckigen Klammer.
Von dieser Funktion f ( r ) in der unabhängigen Variablen r
ermitteln wir mittels Ableitung nach r das Maximum:
f ' ( r ) = 2*R*r - 3 r ^2
Da r nicht null ist, verbleibt als einzige Nullstelle von f '
der Wert r = 2/3 * R ; an dieser Stelle ist f'' ( r ) negativ,
also liegt ein Maximum vor.
Für den zugehörige Wert für h berechnet man leicht den Wert
h = H / 3,
d.h. im Extremalfall geht im Achsenschnitt die Basis des kleinen gleichschenkligen Dreiecks durch den Schwerpunkt des grossen ,
ein recht hübsches Ergebnis !
Das maximale Volumen ist:
V max = 4 / 27 * Pi /3 * H * R ^ 2 , das sind
14,81481.. % des Volumens des grossen Kegels.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Lars Schimmel (Larry2000)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 15:23: |
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Hi!
Ich habe folgendes Problem: Ich soll die Oberflächen zweier Kegel vergleichen, wobei der eine Kegel sich im anderem befindet (eben wie die aufgabe hier).
Naja jedenfalls bräuchte ich etwas Hilfe. So nun der eigentliche Teil:
der große Kegel hat große Variablen (R,H,S.....), der Kleine kleine.
durch die Formel eines Kreisauschnitts und des Kreisbogens ((pi*S^2/360)*alpha=Kreisauschnittsfläche,also Mantel des Kegels und (2*pi*S/360)*alpha=Kreisbogen,b), erhalte ich als Formel für die Oberfläche also s/2 * b, wobei b ja hier 2*pi*R ist und sich S problemlos mit dem Pythagoras berechnen lässt.
So auf jedenfall schaffe ich es nachher nicht die beiden Oberflächen zu vergleichen,obwohl ich ja sogar alle Variablen kenne (r=2/3 * R, h=H/3). Wäre nett wenn sich dass jemand mal anschaut, vielleicht habe ich ja gerade nur ein Brett vorm Kopf
Danke Lars |
daniel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Februar, 2001 - 18:14: |
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http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/11578.html |
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