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Beitrag |
    
alex
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 19:56: | 
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eigentlich einfach aber ich weiß einfach nicht was ich mit der x³ anfangen soll da ich ja die p/q formel oder die allgemeine form nicht anwenden kann da sie nur auf x² aufgebaut ist. wäre für ne lösung echt dankbar |
Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 21:05: |
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Soweit ich weiß gibt es bei solchen Lösungen immer die Möglichkeit, durch Polynomdivision zu vereinfachen, aber falls dich die allgemeine Lösungsformel für kubische Gleichungen interessiert, hier ist sie, so schön langwierig wie kompliziert...
Angenommen, man hat die Gleichung
ax³ + bx² + cx + d = 0
Zuerst vereinfach man ein bisschen durch Substitution, dazu berechnet man folgende Zwischenvariablen:
p = -b²/(3a) + c
q = -cb/(3a) + 2b³/(27a²) + d
g = x(1) + b/(3a)
Dann gilt folgendes (für die Variable g):
ag³ + gp + q = 0
Nun berechnet man g (ein wenig komplizierter):
g = cubrt(-q/(2a) + sqrt((27aq² + 4p³)/(108a³))) +
cubrt(-q/(2a) - sqrt((27aq² + 4p³)/(108a³)))
Aus g berechnet man die erste Lösung x1:
x1 = g - b/(3a)
Die anderen beiden (komplexen) Lösungen sind:
x2,3 = (-b -ax1 (+/-)sqrt((b + ax1)² - 4a(bx1 + ax1² + c)))/(2a)
Aber wie leicht zu erkennen ist, ist diese Formel für den Praxisgebrauch nicht sehr sinnvoll. Vielleicht kann sie dir ja weiterhelfen. Ich habe zwar alles noch einmal kontrolliert, aber es täte mir leid, sollte ich einen Fehler gemacht haben...bei solchen Ausdrücken verliere ich leider manchmal die Konzentration...
Grüße, Nuefz |
Martin (martin243)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: martin243
Nummer des Beitrags: 84
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 10:22: |
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Hi!
Ich wüsste nicht, wie man das ohne Lösungsformel lösen sollte, da es anscheinend keine ganze oder auch nur rationale Lösung gibt, fällt die Polynomdivision flach, mit der man die Gleichung auf eine quadratische zurückführen könnte. Ich komme (wie Nuefz) auf eine reelle (irrationale) und zwei komplexe Lösungen. |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 10:38: |
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Hallo Kolegen,
es folgt die rechnerische Lösung dieser Gleichung:
Es existiert in der Tat keine ganzzahlige Lösung der Gleichung.
Und kann Martin nur beipflichten.
@Nuefz:
Wenn du die Formel für zu kompliziert hälst, dann unterliegst du einen Denkfehler, der in der Schulmathematik verbreitet ist.
Mann muß nicht diee Formeln auswendig lernen, sondern die Verfahren.
du hälst die Formel für zu kompliziert, weil du sie einfach aus einer Formelsammlung abschreibst, ohne die Formel in ihren eigentlichen Bedeutung zu verstehen.
Gruß N. |
Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 18:11: |
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@N:
Das würde ich nicht gerade behaupten. Die oben angeschriebene Formel habe habe ich selbst schon viermal Schritt für Schritt hergeleitet, weshalb man sie in dieser Form wohl kaum in Formelbüchern finden wird (dort wird oft nur die Formel für die Normalform angegeben, also Koeffizient für x^3 ist 1) und ich das Verfahren jetzt selbstverständlich intus habe.
Mit "kompliziert" meinte ich, es kann lange dauern, so eine Gleichung zu lösen, wenn die Koeffizienten a, b, c etc. komplizierter oder sogar komplex sind. (Es sei denn, man schreibt sich mal schnell ein Programm für den TI-92 und lässt ihn die Arbeit machen...die Methode, die ich bevorzuge ;) )
Schöne Grüße,
Nuefz |
Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 18:56: |
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Apropos Polynomdivision:
Natürlich ist klar, dass man bei diesem Beispiel damit nicht weit kommt, da die reelle Lösung irrational ist.
Was ich eigentlich meinte war, dass zu Prüfungen, Schularbeiten etc. (außer auf Universitäten) normalerweise immer nur, wenn überhaupt, solche Gleichungen gegeben werden, die man mit Polynomdivision lösen kann und deren erste Lösung eine leicht zu findende ganze Zahl ist; denn für den Schulstoff ist die kubische Lösungsformel, wie ich gelesen habe, gar nicht vorgesehen, und selbst wenn man sie wüsste, hätte man sicher nicht genug Zeit, um dann außer diesem Beispiel noch die anderen Aufgaben zu lösen...ich hatte aber zuerst noch nicht bemerkt, dass es sich bei diesem Beispiel um kein so leicht zu lösendes handelt.
Grüße, Nuefz |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 19:47: |
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Hi Nuefz,
Wenn du sie so komplett verstanden hättest, dann würdest du aber geschickter bei der Herleitung vorgehen.
Deine reduzierte Kubische Gleichung ist "ungünstig" weil der Kubus immer noch einen Vorfaktor-der nach deiner Rechnung nicht 1 sein muß-besitzt.
Das Verfahren was ich verwende hat aber noch ein weiteren Vorteil:
Es vermeidet bis zum Schluß Brüche!
Egal wie ungünstig die Koeffizienten sind.
Kannst ja mal ausprobieren....
Gruß N.
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Nuefz
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. April, 2002 - 20:46: |
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Stimmt, ich bin natürlich nicht "professionell" vorgegangen. Es gibt dann ja auch noch die "originale" Cardanische Lösungsformel, die zwar nur für die Normalform der reduzierten kubischen Gleichung gilt, aber nicht unwesentlich einfacher ist (aber dafür wieder Brüche enthält).
Eigentlich habe ich mich mit diesem Problem ja nur mal nebenbei auseinandergesetzt, denn in der ersten Oberstufe, die ich derzeit besuche, braucht man sich über solche Gleichungen noch nicht den Kopf zu zerbrechen - deshalb kann ich in solchen Bereichen ohnehin noch nicht wirklich mitreden.
Schöne Grüße, Nuefz |
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