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bärli
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 22:31: | 
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Wie kann man durch vollständige Induktion folgenden Satz beweisen:
1+4+9+....+n^2=(n*(n+1)*(2*n+1))/6
Bitte helft mir?? Bin vollkommen hilflos
Bussi Euer Bärli |
Jens
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 23:36: |
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Bitte helft Bärli ich hab das selbe Problem
und hab null Ahnung.
Bitte vollständig wie für Doofe beschreiben. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 23:59: |
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Hi,
für n=1, ist Sn k=1 n2 = 1. ok.
Nun Sn+1 k=1 n2 = Sn k=1 n2 + (n+1)2 = n * (n+1) * (2n+1)/6 + (n+1)2
Durch geschicktes Umformen kommt man schließlich auf (n+1) * (n+2) * (2(n+1)+1)/6.
Oder man zeigt eben, daß gilt:
n*(n+1)*(2n+1)/6 + (n+1)2 - (n+1) * (n+2) * (2(n+1)+1)/6 = 0
Kräftig ausmultiplizieren, dann sieht man's.
Gruß
Matroid |
Bärli
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 13:57: |
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Hi Danke das du mir so schnell helfen konntest, kannst du das für mich ein bisschen genauer aufschreiben. Bin nicht die Beste in Mathe. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 16:32: |
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Hallo Bärli,
ist Dir die vollständige Induktion klar?
Das ist eine Beweistechnik, bei der man die Behauptung für ein oder einige kleine n zeigt (Induktionsanfang) und dann zeigt, daß die Behauptung für n+1 sich aus der Gültigkeit der Behauptung für ein oder alle kleinern Zahlen n herleiten läßt.
Das habe ich gemacht.
Mein Induktionsanfang für n=1 ist richtig.
Die Behauptung gilt also für alle n <= einem bestimmten n0, das ist hier die 1.
Diese Formulierung mit n0 nennt man dann die Induktionsvoraussetzung.
Nun kommt der Induktionsschritt. Formal lautet der:
Aus der Gültigkeit der Behauptung für n<=n0 folgt die Gültigkeit der Behauptung für n<=n0+1.
Wenn man das zeigen kann, was hat man dann davon?
Wenn die Behauptung für n0=1 gilt, dann gilt sie auch für n0=2.
Wenn die Behauptung für n0=2 gilt, dann gilt sie auch für n0=3.
Wenn die Behauptung für n0=3 gilt, dann gilt sie auch für n0=4.
usw.
Den Induktionsschritt von n->n+1 kann man beliebig oft (in Gedanken) anwenden. Die Schlußweise ist immer die gleiche.
Folglich gilt die Behauptung für alle neN.
Ich habe jetzt zur Verdeutlichung immer n0 geschrieben, um deutlich zu machen, daß man die Induktionsvoraussetzung nur für einige n voraussetzt. In der Praxis schreibt man eigentlich immer n statt n0 und weiß dennoch, was gemeint ist.
In Deiner Aufgabe, habe ich nach dem Nachweis, daß die Behauptung für n=1 gilt, dann den Induktionsschritt gemacht. Ich habe mir die Behauptung für n+1 (also für das nächstgrößere n) hingeschrieben. Und dann zeige ich, daß die Behauptung auch für das nächstgrößere n (also für n+1) gilt.
Um das zu zeigen, muß man mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung die Terme der Induktionsbehauptung ausmultiplizieren und zusammenfassen, bis man das gewünschte Ergebnis (die Behauptung) vor sich stehen hat.
In Deiner Aufgabe habe ich darum die Sn+1 k=1 n2 zuerst so geschrieben: Sn k=1 n2 + (n+12}.
Das habe ich gemacht, weil ich dann auf die Summe bis n die Induktionsvoraussetzung (für kleiner Zahlen als n+1) anwenden kann. Denn für kleiner Zahlen als n+1 gilt ja schon die Behauptung, daß
Sn k=1 n2 = n*(n+1)*(2n+1)/6.
Also ist
Sn+1 k=1 n2 = n*(n+1)*(2n+1)/6 + {(n+1}2.
Klar bis hierhin?
Was wir zum Nachweis der Behauptung gern sehen möchten, ist, daß
Sn+1 k=1 n2 = (n+1)*((n+1)+1)*(2(n+1)+1)/6.
Daß das eine gleich den anderen ist, muß man jetzt durch ausmultiplizieren und zusammenfassen nachweisen. Mach das mal, und Du wirst sehen, daß die beiden Formeln gleich sind.
Gruß
Matroid |
Bärli
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 17:06: |
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Ahhhh. Jetzt wird mir so manches klar.
Vielen Dank und Bussi dein Bärli!! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 17:16: |
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Bärli, Du machst mich glücklich.
Dein Matroid |
Roli
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 19:05: |
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cool  tnx |
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