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1. Ableitung von Wurzel

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Ableitungen / Differentiationsregeln » Differentiationsregeln » 1. Ableitung von Wurzel « Zurück Vor »

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Sandra (sandrah)
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Neues Mitglied
Benutzername: sandrah

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 13. April, 2002 - 22:17:   Beitrag drucken

Suche 1. Ableitung von f(x)= Wurzel (1-x²)
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Andi (andreas_)
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Mitglied
Benutzername: andreas_

Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 05:07:   Beitrag drucken

Hallo Sandra!

Wir haben es hier mit einer verketteten Funktion zu tun. Dabei gilt die Kettenregel.
Kettenregel: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich der äußeren Ableitung mal der inneren Ableitung.

Die innere Funktion ist (1-x²).
Die äußere Funktion ist Wurzel(1-x²)

Die Ableitung der Wurzelfunktion ist:

y=W(x) => y'=1/(2*W(x))

Statt x setzen wir in unserem Fall die innere Funktion (1-x²) ein:

Die äußere Ableitung ist also dann:

y=W(1-x²) => y'=1/(2*W(1-x²))

Nun berechnen wir noch die innere Ableitung:

y=1-x² => y'=-2*x

Nun müssen wir nur noch diese beiden Ableitungen miteinander multiplizieren:

f'(x)=(1/(2*W(1-x²)))*(-2*x)
f'(x)=(-2*x)/(2*W(1-x²)) den 2er kürzen
f'(x)=-x/W(1-x²)

Ich hoffe, ich konnte Dir damit helfen.

Liebe Grüße -

Andi
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hallo
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 15:32:   Beitrag drucken

Hallo Ihr beiden. Andi, Dein Weg ist zwar logisch und auch richtig, nur finde ich ihn etwas umständlich. Wenn man nähmlich weiß, dass Wurzel (1-x^2) das selbe ist wie (1-x)^1/2, dann brauch man wirklich nur noch simple die Kettenregel anwenden. f´(x)ist dann: 1/2*(1-x)^-1/2
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Andi (andreas_)
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Mitglied
Benutzername: andreas_

Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 23:40:   Beitrag drucken

Hallo!

Korrigiere mich bitte, wenn ich da etwas falsch verstehe, aber ich glaube Dir ist da ein kleiner Fehler unterlaufen:

Wurzel(1-x²) ist doch das selbe wie (1-x²)^(1/2) und nicht, wie Du schreibst (1-x)^(1/2).

Die äußere Ableitung ist dann: (1/2)*(1-x²)^(-1/2).

Die innere Ableitung ist: -2*x

Wenn man die äußere und innere Ableitung multipliziert (Kettenregel) erhält man:

(1/2)*(1-x²)^(-1/2) * (-2*x)

Dabei gilt: (1-x²)^(-1/2)=1/W(1-x²)
und: (1/2)*(-2*x)=-x weil sich "2" wegkürzt

So erhält man das selbe Ergebnis, wie schon in meiner ersten Antwort:

f'(x)=-x/W(1-x²)

Liebe Grüße -

Andi

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