| Autor |
Beitrag |
    
Michael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 22:13: | 
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Hi @ all,
Vom Punkt P (-1|-1) sind die Tangenten an den Graphen der Funktion x->x² gezeichnet. Bestimme:
a) die Koordinaten der Berührpunkte.
b) die Gleichungen der beiden Tangenten in Normalform. |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 08:12: |
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Dummy Antwort, um die Grauzone zu vermeiden. |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 08:14: |
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Hallo Michael,
f(x)=x²
f'(x)=2x
Im Berührungspunkt P = (u,v):
f(u)=u² = v
f'(u) = 2u
Tangente: y=mx+b mit m=2u
im Punkt P: u²=2u*u+b
ergibt b = -u²
Tangente also: y = 2u*x- u² ..... [1]
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Diese Tangente soll durch (-1, -1) gehen:
-1 = 2u*(-1) -u²
u² + 2u -1 = 0
u = -1 ± Ö2
dies setzen wir in [1] ein wobei wir beachten
u² = (-1 ± Ö2)² = 3 ± 2Ö2 (Achtung: ± soll vertauscht sein)
y = (-2 + 2Ö2)*x -3+2Ö2
y = (-2 - 2Ö2)*x -3 -2Ö2
Dies sind die Gleichungen der beiden Tangenten.
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Koordinaten der Berührungspunkte:
P1= (-1+Ö2; 3 -2Ö2)
P2 = (-1-Ö2; 3 +2Ö2)
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Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 09:49: |
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Noch ein Dummy |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 09:50: |
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Hallo Michael,
NACHTRAG:
Natürlich kann man die Aufgabe auch eleganter mit Hilfe der Polaren lösen. Dazu sind jedoch weitere Kenntnisse der Parabelgeometrie erforderlich.
Wir bringen die Parabelgleichung auf die Form: x²=2py
Dann ist die Gleichung der Polaren in Bezug auf den Punkt (x1; y1):
x*x1 = p(y + y1)
In unserem Beispiel ist x1=y1= -1 und p = 1/2
-x = 1/2*(y-1)
y = -2x + 1 ...... Gleichung unserer Polaren.
Die Schnittpunkte dieser Polaren mit der Parbel sind die gesuchten Berührungspunkte der Tangenten.
-2x+1 = x²
x²+2x-1 = 0
x = -1 ± Ö2 die x-Werte der Berührungspunkte
u.s.w. wie oben.
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