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Beitrag |
    
Kassandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 12:55: | 
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Hallöchen Leute!
Ich soll durch vollständige Induktion folgendes beweisen:
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Die Summe der dritten Potenzen dreier aufeinanderfolgenden natürlicher Zahlen ist durch 9 teilbar.
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Also n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=9k
ist das schon mal richtig?? Wenn ja versteh i das ned ganz. Kann mir jemand helfen?? |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 17:11: |
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Hallo Kassandra
Dein Ansatz ist vom Prinzip her schon mal richtig, aber dieses 9k soll nicht dazu anregen, k anzugeben, lass uns einfach die vollstaendige Induktion mit Deinem Ansatz abspulen:
Induktionsbeginn: n=1.
Dann ist n³+(n+1)³+(n+2)³=1³+2³+3³=1+8+27=36, das ist durch 9 teilbar.
Induktionsschritt:
Wir nehmen den naechsten Term, also (n+1)³+(n+2)³+(n+3)³, und formen ihn solange um, bis unsere Induktionsvoraussetzung n³+(n+1)³+(n+2)² darin auftaucht.
In (n+1)³+(n+2)³+(n+3)³ sind die beiden ersten Summanden schon mal gut, loesen wir mal den letzten nach der binomischen Formel um:
=(n+1)³+(n+2)³+n³+3*3*n²+3*3²*n+3³
Das n³ passt ja genau rein, also schreiben wir es nach vorne, und zur Verdeutlichung machen wir um die ersten drei SUmmanden eine Klammer:
=[n³+(n+1)³+(n+2)³]+9n²+27n+27
Die Klammer ist nach Induktionsvoraussetzung durch 9 teilbar, die restlichen SUmmande haben als Koeffizienten immer ein Vielfaches von 9, sind also insbesondere durch 9 teilbar, somit die gesamte Summe auch, was zu beweisen war.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Kassandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 18:29: |
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Danke für deine Hilfe, hab ich jetzt verstanden.
Ich hätt da nur noch ein kleines Problem. Wie soll ich meinen Anfang schreiben? Soll ich da nur
n^3+(n+1)^3+(n+2)^3/9 schreiben??? Würde das reichen?? |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 21:19: |
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Hi Kassandra
Freut mich, dass ich Dir helfen konnte.
Was meinst Du genau mit Anfang? Wenn Du den Induktionsanfang meinst, was spricht dann dagegen, ihn so zu schreiben, wie ich das gemacht habe?
viele Gruesse
SpockGeiger |
Kassandra
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 21:44: |
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Halli Hallo SpockGeiger!!!!
Na gut dann lass ich den Anfang so wie er ist!
Also noch mal vielen Dank für deine Hilfe.
Bis denn denn
Kassandra |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. November, 2000 - 18:23: |
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Hi Kassandra
Jetzt habe ich glaube ich verstanden, was Du meintest. Du wolltest unbedingt alles in eine mathematische Formel packen? Das musst Du nicht, verbal (...) ist durch 9 teilbar ist voellig in Ordnung. Es gibt aber, wenn Du es unbedingt benutzen moechtest, ein Symbol dafuer, den senkrechten Strich:
9|(...) bedeutet 9 ist ein Teiler von (...)
viele Gruesse
SpockGeiger |
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