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Beitrag |
    
Julian Harnath (Julianh)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 12:37: | 
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Hallo!
Folgende Aufgabe:
Ein Kreis K um Mittelpunkt M(0|0), Radius r=5.
Eine Tangente schneidet den Kreis in schneidet den Kreis im Berührpunkt B(bx|by) [x und y als index], und schneidet die X-Achse im Punkt A(8|0) (ax / ay).
Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunktes B algebraisch.
So...
Folgendes habe ich aus dem Unterricht / selbst gerechnet:
m[senkrecht]= by - 0 / bx -0 = by/bx
m = -1/m[senkrecht] = - bx / by
y = -bx/by * x + n
<=> n = by + (bx / by) * bx
=> y = -(bx / by) * x +by + (bx² / by) |* by
<=> by * y = -bx * x + bx² + by²
<=> x * bx + y * by = r²
=> ax * bx = 25 |/ ax
<=> bx = 25 / ax
<=> bx = 25 / 8
Ich glaube, damit habe ich die X-Koordinate von B, und zwar 25/8, oder? Aber wie kriege ich nun die Y-Koordinate?
Julian |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 14:03: |
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Hi Julian,
Gratulation !
Du hast die x-Koordinate des Berührungspunktes B richtig
berechnet.
Setze nun diesen Wert für x in die Kreisgleichung
x^2 + y^2 = 25 ein
und löse nach y auf ; es kommt y^2 = 975 / 64,
also y = (plus,minus) 5/8*wurzel(39) ~ 3.90 als y-Koordinaten
für die beiden Berührungspunkte.
Hruss
H.R.Mosermegamath. |
Julian Harnath (Julianh)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 17:29: |
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Danke!!
Julian |
H,R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 21:09: |
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Hi Julian,
Der Anfang Deiner Aufgabe lässt sich mit zwei anderen
Methoden äusserst effizient lösen (wenige Zeilen genügen !)
1.Methode
Schnitt des Kreises mit der Polaren des Punktes P1 (a / 0)
als Pol :
Zur Kreisgleichung x^2 + y^2 = 25 gehört die Polarengleichung
x1 * x + y1 * y = 25.
Dabei ist P1( x1 / y1 ) der Pol und die genannte lineare Gleichung
stellt eine Gerade dar, die sogenannte Polare p1 des Punktes P1.
Für P1(a/0) kommt die Parallele zur y-Achse y = 25 / a als Polare.
Diese Gerade nun schneidet den Kreis in den Berührungspunkten
derjenigen Tangenten des Kreises, welche durch den Pol P1 gehen,
fall der Punkt P1 ausserhalb des Kreises liegt.
Liegt P1 auf dem Kreis, so ist p1 die Tangente des Kreises mit
P1 als Berührungspunkt.
Wenn P1 im Inneren des Kreises liegt, schneidet die Polare den
Kreis nicht, kann aber dennoch nützliche Dienste leisten
Wenn der Pol auf der x-Achse nach rechts läuft (wachsendes a >0),
nähert sich die Polare dem Mittelpunkt O des Kreises.
Dem unendlich fernen Punkt der x-Achse als Pol entspricht die
y-Achse als Polare usw.
Nun zur Tat:
Wir setzen a = 8 und schneiden den Kreis mit der Polaren x = 25 / 8;
wir erhalten sofort die früher genannten Berührpunkte
B1( 25/8 ; ...) B2 (25/8 ;...)
2.Methode
Wir schneiden den gegebenen Kreis mit dem zum Durchmesser
OA(8/0) gehörigen Thaleskreis, da die gesuchte Tangente im
Berührungspunkt B auf dem Berührungsradius senkrecht steht.
Gleichung dieses Kreises: (x-4)^2 + y^2 = 4^2 oder:
x^2 + y^2 = 8 x
Subtrahiert man davon die gegebene Kreisgleichung , so erhält
man wiederum die Beziehung x = 25/8 für die x-Koordinate der Berührungspunkte.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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