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Jocky
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 17:15: | 
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Ein Trichter hat die Form eines offenen Kegels.Welchen Radius r und welche Höhe h muß der Kegel haben, damit sein Rauminhalt bei einer Mantellinie von 10cm Länge möglichst groß wird?
Ich wäre ihnen sehr dankbar wenn sie mir bei dieser Aufgabe bis nächsten Donnerstag geholfen hätten. |
Harald
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 19:46: |
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Hallo Jocky,
gehe in 3 Schritten vor:
1. Hauptbedingung, HB (was soll maximal werden?)
V(Kegel) = ... formelsammlung schauen ...
2. Nebenbedingung, NB (was gilt sonst noch?)
Mantellinie = 10 cm
Wie hängt die Mantellinie mit dem Radius bzw. Höhe des Kegels zusammen?
Informiere dich in einer Formelsammlung etc. über die Mantelfläche eines Kegels (= Kreisausschnitt bzw. Kreissektor).
Tipp: Zeichne dir einen Kreis (r = 5 cm), schneide daraus einen Kreisausschnitt aus und bastele einen Kegel - die Zusammenhänge werden dann sofort klar.
3. Zielfunktion, ZF (NB in HB einsetzen)
Löse die NB nach h bzw. r auf (was ist sinnvoller?) und setze dies in die HB ein: du erhälst die Zielfunktion. Die ZF brauchst du nur noch mit den Ableitungen auf Extrema zu untersuchen.
Wenn es klemmt, einfach nachfragen.
Harald |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. November, 2000 - 20:29: |
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Hi Jocky,
Bei Deiner Aufgabe spielt die Mantelfläche keine Rolle,
und es ist nicht nötig, die Abwicklung der Kegelfläche zu
untersuchen, wie Harald meint.
( Vorsicht: der Radius des Kreissektors wäre s = 10
nicht s / 2 = 5 )
Es handelt sich also nicht um die berühmte Trichteraufgabe,
bei welcher der Zentriwinkel der Abwicklung zu bestimmen ist.
Die gestellte Aufgabe ist wesentlich einfacher und wird so gelöst:
Aus der Beziehung zwischen dem Kegelradius r, der Höhe h
und der Mantellinie s = 10 (Pythagoras!) ,nämlich
r ^ 2 = 100 - h ^2 folgt aus der Volumenformel
V = 1/ 3 * Pi * r ^ 2 * h = Pi / 3 * ( 100 * h - h ^ 3 )
Die Ableitungen nach h sind:
V ' = Pi / 3 * (100 - 3 h ^ 2 )
V '' = - 2 * Pi * h < 0
V ' ist null für 3 h ^ 2 = 100 , also für h = 10 / wurzel ( 3 )
daraus r = 10 * wurzel ( 2 / 3 ).
V max = 2000*Pi * wurzel(3) / 27.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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