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Benjamin (Bennyk)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 21:37: | 
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Brauche dringend Hilfe zu folgender bekloppten Aufgabe, möglichst schnell!!!
Ein Turm besteht aus einem Quader mit quadratischer Grundfläche. Auf der Deckfläche sitzt eine gerade Pyramide, deren Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind. Von diesem Turm soll ein Kantenmodell aus einem Stück Draht der Länge 15m erstellt werden. Wann ist das Volumen dieses Modells Maximal?
Soviel habe ich schon raus: V=a²*b+1/3a²*h und mehr weiß ich nicht.
Um Hilfe bin ich sehr dankbar |
Markus
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 13:45: |
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Pass auf : Du brauchst die 12 Seiten des Quaders
(=8*a+4*b). "...deren Seitenflächen gleichseitige
Dreiecke sind" bedeutet, Du hast ein a für eine
Dreiecksseite (die Unterseite) und demnach noch
2 weitere Seiten der Länge a. Die Pyramide hat
noch 4 mal a zu bieten. Der Draht hat nur 15m zu bieten, heisst 15m=(8a+4b)+4*a -> 12a+4b=15m.
b ist leider nicht a, sonst wäre es doch zu einfach... Aber auf jeden Fall hast Du jetzt noch
eine Nebenbedingung, die dir vielleicht hilft.
Zur Höhe der Pyramide : die Diagonalen sind
a* Wurzel2 lang, der Mittelpunkt also da,wo sich die Diagonalen im Quadrat treffen. Jetzt kommt der
Satz des Phytagoras : ((a*Wurzel2)/2)^2+h^2=a^2
Löse nach h^2 auf und ziehe die Wurzel.
WM_ichhoffedashilft Markus |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 14:11: |
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Hi,
Benjamin,
Zuerst muss die Höhe h der Pyramide mit Hilfe
des Satzes von Pythagoras durch die Kantenlänge a
ausgedrückt werden.
Einer Skizze entnehmen wir sofort:
h^2 = a^2 - [a /2*wurzel(2)] = a ^2 / 2 ,
also h = a / wurzel(2)
Dies setzen wir in die Volumenformel ein und erhalten:
V = a^2* b + 1 /[ 3* wurzel(2) ] * a ^ 3................... (1)
Die Gesamtlänge L aller Kanten ergibt mit L = 15
die Nebenbedingung:
L = 12 a +4 b = 15 , daraus
b = 15 / 4 - 3 a ...................................................(2)
Dies setzen wir in (1) ein und erhalten V = V(a) als
Funktion einer einzigen Variablen a:
V = 15/4 * a^2 + [1 / {3*wurzel(2) - 3 }] *a ^ 3
Ableitungen:
V ' = 15 / 2 * a - [9 - 1 /wurzel(2)] * a ^2
V '' = 15 / 2 - [18 - 2 / wurzel(2) ] * a
Wir suchen die von a = 0 verschiedene Nullstelle von V ' (a)
Sie lautet:
a = 15 / [18 - wurzel(2)] ~ 0.904
An dieser Stelle ist die zweite Ableitung negativ;
es liegt ein Maximum vor.
Gruss
H.R.Moser , megamath. |
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