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Beweis für Innenwinkel mit tan

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Trigonometrie » Beweis für Innenwinkel mit tan « Zurück Vor »

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Ronny (Wonkyfox)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 13:23:   Beitrag drucken

Ich benötige den Beweis das für die Innenwinkel im Dreieck gilt :

tan a + tan b + tan g = tan a * tan b * tan g
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H,R,Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 22:08:   Beitrag drucken

Hi Ronny,

Wir wählen die folgenden Bezeichnungen

A :Dreieckswinkel alpha
B: analog beta
C: analog gamma

Die folgenden Vorkenntnisse sind für die Lösung
Deiner Aufgabe unerlässlich.

(1) Da C zur Summe A+B supplementär ist, also
C = 180° - (A+B) ist, gilt
tan C = - tan (A + B)...............................................-----(I)

(II) Es gilt das Additionstheorem des Tangens:
tan ( A + B ) = [tan A + tan B ] / [ 1 - tan A * tan B]..(II)

Nun zur Herleitung der Relation:
Wir formen ihre die linke Seite L um:
L = tan A + tan B - tan (A + B) =
[tan A + tan B - [tan A + tanB ] / [ 1 - tan A * tan B ] =
={ tanA + tan B - (tan A)^2 * tan B - tan A * (tan B) ^2
- tan A - tan B } / { 1 - tan A * tan B }
Im Zähler heben sich die einfachen Summanden tan A und tan B weg
Es bleibt:
L = - {tan A * tan B * [ tan A + tan B ]} / {1 - tan A *tan B },
die eckige Klammer, geteilt durch {1 - tanA * tan B} ergibt
nach (II) tan (A+B) , d.h minus tan C , zusammen mit
minus tan A* tan B gibt das gerade die rechte Seite der Relation,
womit diese bewiesen ist.

Bravo !

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