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Kai Mehring (Petex)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 12:22: | 
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Es soll ein Trapez mit maximaler Fläche ermittelt werden, das sich innerhalb eines Halbkreises befindet. Die untere(a) Strecke des Trapezes ist identisch mit dem Durchmesser des Kreises und die obere(c) Strecke des Trapezes hat ihre beiden Punkte auf dem Halbkreis.
Die Extremalbedingung ist:
A(r,c,h) = (2r+c)*h/2
Was ist die Nebenbedingung und die sich aus Extremal- und Nebenbedingung ergebende Zielfunktion ? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 16:21: |
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HALLO Kai,
Der obere Eckpunkt (c;h) muss die Kreisgleichung erfüllen, d.h. nach Pythagoras muss gelten
c2 + h2 = r2
ob du die nun nach c oder nach h auflöst, ist egal, das kannst du dir je nachdem aussuchen, ob A(c) oder A(h) einfacher abzuleiten ist.
r kannst du ja als gegebene Konstante betrachten.
Gruß, Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 16:24: |
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Ergänzung:
wenn du c in A(r,c,h)=A(c,h) ersetzt, erhältst du natürlich A(h) als Zielfunktion
wenn du h in A(r,c,h)=A(c,h) ersetzt, erhältst du natürlich A(c) als Zielfunktion |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 16:27: |
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Fehler, um 17:21 Uhr musste es heißen
Eckpunkt (c/2;h)
so dass die Nebenbedingung lautet
c2/4 + h2 = r2 |
Kai Mehring (Petex)
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 18:31: |
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Danke!!
Die Zielfunktion lautet jetzt:
A(c) = r² - 2r*c/4 + c*r/2 - c*r/4
und davon die Ableitung:
A'(c) = 2r
Wie bekomme ein lokales und absolutes Extremum für raus ?
Gruß Kai |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 19:54: |
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Hallo Kai, da du anscheinend noch online bist,
schreib ich die Lösung nicht auf, sondern gebe einen Tipp:
willst du A(c) als Zielfunktion, so setze
h=Ö(r2 - c2/4)
in A(r,c,h) = (2r+c)*h/2 ein.
Um A'(c) zu erhalten, musst du unter anderem die Ableitung der Wurzel bilden, innerhalb derer kannst du dann noch die Kettenregel benutzen.
Der Vorschlag A(c) = r² - 2r*c/4 + c*r/2 - c*r/4 scheint mir jedenfalls falsch. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. Oktober, 2000 - 21:25: |
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Hallo Kai, mit A(c) geht es natürlich auch, es ist nur ungleich komplizierter mit der Ableitung, deshalb würde ich den Weg über A(h) gehen, indem c ersetzt wird nach:
c = 2Ö(r2 - h2)
So wird die Zielfunktion
A(h)=[Ö(r2 - h2) + r]*h
und ihre Ableitung (rechne bitte selber nach)
A'(h) = -h2/Ö(r2 - h2) + Ö(r2 - h2) + r
setzt man diese gleich Null, so kommt nach einigen Umformungen heraus
h = 0 oder 4h2 = 3r2
woraus dann das h für maximalen Flächeninhalt folgt (für h=0 wäre das Trapez minimal)
Gruß, Bernd |
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