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markus (Markuss)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 10:52: | 
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Hallo, wer kann mir helfen???
Wie kann ich folgendes beweisen:
Die Diagonalen eines Sehnenvierecks zerlegen es in vier Dreiecke, von denen jeweils 2 in den Winkeln übereinstimmen.
Wäre echt klasse wenn mir jemand einen Tipp geben könnte |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 22:00: |
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Hi Markus,
gute Frage. Ich versuche mir das selbst zu erklären. Fange ich daher an mit einem im Kreis eingeschrieben Quadrat, d.h. mit 4 Sehnen gleicher Länge. Die Behauptung stimmt dann natürlich.
Von den 4 Endpunkten der Sehnen auf dem Kreis wähle ich nun einen beliebigen aus, nenne in C. Die beiden benachbarten Sehnenpunkte auf dem Kreisbogen nenne ich A und B. Die Verbindungslinie zwischen A und B ist eine Diagonale im Sehnenviereck. Dann überlege ich mir, was mit den Winkeln im Dreieck ABC passiert, wenn ich den Punkt C an der Kreislinie entlang bewege (in der Richtung des einen oder anderen benachbarten Sehnenpunktes). Der eine Winkel wird kleiner, der andere größer. Die Länge der C gegenüberliegenden Seite (die ich c nenne) bleibt dabei gleich.
Nun benutze ich den Sinussatz, der lautet:
a/sin(a) = b/sin(b)= c/sin(c) = 2r. Dabei ist r der Umkreisradius des Dreiecks ABC. Der Umkreisradius bleibt bei der Bewegung des Punktes C über der Diagonale AB (die ja auch eine Sehne im Kreis ist) konstant. Folglich ändert sich bei der Bewegung der Winkel c nicht. Folglich wird a um genau den Betrag größer, um den b kleiner wird (die Winkelsumme im Dreieck ist ja konstant 180°). Die Summe von a und b bleibt also konstant = 180° - c.
Genau wie den einen ausgewählten Punkt kann ich auch jeden anderen Punkt auf der Kreislinie entlang bewegen. Daher gilt für die 4 Winkel des Sehnenvieecks: a+c=b+d, d.h. die Summe gegenüberliegender Winkel beträgt 180°.
Im Spezialfall einer Sehne, die durch den Kreismittelpunkt geht, ist das der Satz von Thales. Da heisst es, das jeder Winkel im Halbkreis ein rechter ist. Auch da kann man den Punkt C an der Kreislinie entlang bewegen und der Winkel ändert sich nicht. Diese Aussage ist verallgemeinert für alle Sehnen:
Der Winkel eines Dreiecks über einer Kreissehne, dessen dritter Punkt auf der Kreislinie liegt, ist konstant, er hängt von der Lage der Sehne, aber nicht von der Lage des Punktes C auf der Kreislinie ab.
Damit habe ich zwar den Beweis Deiner Behauptung noch nicht, aber Du hast mehrere Fragen im Umfeld der Sehnentangenten gestellt und die Lösungen haben alle etwas mit dieser Grundtatsache zu tun.
Gruß
Matroid |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 17:11: |
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Lemma5
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 17:12: |
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Hallo Matroid, leider funktioniert das mit dem verknoten nicht immer, sobald man eine Antwort auf eine früher gestellte Frage findet, weiß man nicht immer, wo man die Frage suchen soll, wenn man sich nicht richtig erinnert, welche Suchbegriffe man verwenden kann, und wenn man ein anderes Mal die Frage dann doch wiedergefunden hat, ist die Adresse der Antwort nicht greifbar, weil man ja die Frage nicht richtig umschreiben konnte. Ich habe die Antwort nicht wiedergefunden, ich bin mir nur ziemlich sicher, dass sie hier im Board bereits steht.
Zu obigem Problem: ist eigentlich ganz leicht zu lösen, wenn man den Umfangswinkelsatz auf alle vier Winkelpaare anwendet. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 18:08: |
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Hallo Lemma5,
wie ist denn die Frage?
Hilft Dir vielleicht http://www.hs-kufstein1.tsn.at/facher/applets/appletseiten/sehnenviereck/sehnenviereck.htm? |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 19:18: |
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Hi Matroid, ich meinte die obenstehende Frage vom
Samstag, den 28. Oktober, 2000 - 11:52
oder was habe ich jetzt falsch verstanden ??!
Vielen Dank auf jeden Fall für den Link.
Gruß
Lemma5 |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Juni, 2001 - 20:16: |
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Ist das die gesuchte Antwort?
matheplanet.de/default3.html?link=230 |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Juni, 2001 - 15:07: |
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Hallo Matroid, vielen Dank für den neuen Link.
Ich habe mich am Freitag wohl mehrmals missverständlich ausgedrückt.
Ich hatte vor, die Frage von Markuss durch einen Link zu beantworten, denn du schriebst doch: "Damit habe ich zwar den Beweis Deiner Behauptung noch nicht...", sie war also noch nicht beantwortet worden.
Ich gebe noch mal die Chronologie wieder:
Ich wusste, dass es diese Frage von Markuss gab, hatte aber auch keine Antwort darauf.
Irgendwann habe ich dann eine ähnliche Frage gefunden, die bereits beantwortet worden war.
Gerade dann hatte ich aber keine Zeit, diese Seite hier wiederzusuchen und hier einen Link auf die Antwort zu setzen.
Letzte Woche habe ich dann diese Frage hier wiedergefunden, mich aber nicht mehr daran erinnern können, wo die Antwort stand, und so habe ich die Frage von Markuss selbst beantworten wollen, nicht mit einem Link, sondern mit meiner Skizze von 18:11 Uhr und dem knappen Kommentar: "...ist eigentlich ganz leicht zu lösen, wenn man den Umfangswinkelsatz auf alle vier Winkelpaare anwendet."
Von mir aus ist alles geklärt.
Gruß
Lemma |
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