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Elampe
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Oktober, 2000 - 18:38: | 
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AAARGH!!! Ich weiss nicht wie ich folgende Aufgabe lösen soll:
Es seien a und x0 positive reele Zahlen. Die Folge ( Xn ) ist definiert durch:
Xn = 1/2( Xn-1 + a / Xn-1 ) für n >= 1
Zeigen Sie, daß ( Xn ) gegen Wurzel a konvergiert. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 29. Oktober, 2000 - 12:45: |
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Hallo Elampe,
zunächst ist zu zeigen, dass die Folge überhaupt konvergent ist.
Betrachte die Funktion f(x) = (x + a/x)/2 für x > 0. Eine kurze Kurvendiskussion ergibt, dass f(x) >= Öa für alle x > 0. Also ist xn >= Öa für alle n > 0. Außerdem folgt für x >= Öa, dass f(x) <= x.
Aus dieser Überlegung folgt, dass für n>0 die Folge (xn) monoton fallend und nach unten beschränkt, und daher konvergent ist.
Sei x der Grenzwert. Dann gilt x = (x + a/x)/2. (Klar wieso?) Somit x = Öa. |
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