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Beitrag |
    
Markus73
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 23:52: | 
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Eine Firma erzeugt Leintücher mit Flächeninhalt 4m². Wenn man berücksichtigt, dass zum Einschlagen auf jeder Seite 20 cm nötig sind, wie gross darf das Bett maximal sein, das man damit beziehen kann? kann man in so einem bett überhaupt schlafen?
meine Lsg:
Hauptbed: Umax = 2*(l-0,2)+2*(b-0,2)
Nebenbed: A= 4 = l*b
als endergebnis bekomme ich da ein quadratisches bett (a=1,8m) kann das stimmen? oder stimmen da meine bediengungen ned ganz? |
AK
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 17:42: |
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Könnt ihr diese Aufgabe für mich lösen:"P sei ein beliebiger Punkt auf dem im 1.Feld verlaufenden Bogen der Parabel mit der Gleichung y=-x^2+2. Die Normale in P schneide die x-Achse in S. Für welchen Punkt P auf dem genannten Parabelbogen liegt S am weitesten 'links'?" Ich habe trotz einigem Probierens für diese Aufgabe leider kein konkretes Ergebnis erhalten - also helft mir bitte! |
Test & Try
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 21:12: |
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Für P(1/Ö2;3/2) |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 22:03: |
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Hallo Markus73,
wenn ich die Aufgabenstellung so verstehe, dass "zum Einschlagen auf jeder Seite 20 cm nötig sind" bedeutet, dass oben, unten, rechts, links jeweils 20 cm Rand sind, dann ist es natürlich 1.6 m statt 1.8 m, Länge und Breite jeweils gleich groß. Wenn "auf jeder Seite" jedoch nur bedeutet, dass an einem Rand 20 cm eingeschlagen werden, und an dem dazu senkrechten Rand ebenfalls 20 cm, dann stimmen natürlich deine 1.8 m.
Ich verstehe allerdings nicht, wofür du die Umfangsformel aufstellst, meiner Meinung nach muss man bei dieser Aufgabe nur mit der Fläche "etwas um den Pudding herum" rechnen, um zu zeigen, dass letztendlich die größte zur Verfügung stehende Fläche quadratisch ist:
Ich nehme jetzt ebenfalls den Rand 0.1 m an jeder Seite an, was deinem Gesamtrand von 0.2 m entspricht, so dass ich auch auf den Flächeninhalt A des Bettes mit Breite b und Länge a komme:
Bettfläche A = (a-0.2)*(b-0.2)
Nebenbed.: Lakenfläche a*b = 4 => b=4/a, dies eingesetzt
=> A(a) = (a-0.2)*(4/a - 0.2)
= 4 - 0.2a -0.8/a + 0.04
A'(a) = -0.2 + 0.8/a2
A''(a) = -1.6/a3
Extremale Bettfläche nur, wenn A'(a)=0 , also
-0.2 + 0.8/a2 = 0
0.8/a2 = 0.2
4 = a2
a = 2 oder a = -2
A''(2) < 0 => Maximum, A''(-2)>0 => Minimum
also a=2, Bettfläche A(2) = (2-0.2)*(4/2 - 0.2)=1.8*1.8
Da die Diagonale eines solchen Bettes nach Pythagoras größer als 2.54 m ist, kann zumindest jeder, der unter 2 m groß ist, diagonal bequem drin schlafen, falls doch 20 cm Rand an allen vier Seiten gelassen werden sollten, sähe das bei 1.6 m Bettkantenlänge natürlich nicht so gut aus.
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Hallo AK,
mit y(a)=-a2 + 2
hat der Punkt P die Koordinaten (a;-a2 + 2)
Die Steigung der Normalen zum Grafen von y=-x2 + 2 erhält man durch Einsetzen der Steigung in a in die Normalform der Geradengleichung y=mx+b, m ergibt sich aus der Orthogonalitätsregel m*f'(a)=-1 mit
f(x)=-x2 + 2 und f'(a)=-2a zu
m=1/(2a)
Die Normale beinhaltet den Punkt P, dessen Koordinaten eingesetzt: x=a, y=-a2 + 2 ergeben eine Gleichung für b:
-a2 + 2 = 1/(2a) * a + b, also
b= -a2 + 2 - a/(2a) = -a2 + 3/2, so dass die Gleichung der Normalen lautet:
y = x/(2a) -a2 + 3/2
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Die Nullstelle von dieser Funktion ist die x-Koordinate vom Punkt S:
y=0 <=> x/(2a) -a2 + 3/2 = 0
x/(2a) = a2 - 3/2
x = 2a3 - 3a
Dieser Wert soll minimal werden, damit S möglichst weit links liegt, also, x möglichst klein ist:
x(a) = 2a3 - 3a muss minimiert werden.
Ableitung bilden:
x'(a) = 6a2 - 3
x''(a) = 12a
x kann nur dann extremal sein, wenn x'(a) = 0:
6a2 - 3 = 0
6a2 = 3
a2 = 1/2
a = 1/Ö2
die y-Koordinate dieses Punktes ergibt sich durch Einsetzen in y(a)=-a2 + 2
zu y = -1/2 + 2 = 3/2
also P(1/Ö2;3/2)
Gruß, Bernd |
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