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weißnichwie
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 03:39: | 
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y'' - 3y'/x + 4y/x^2 = 2 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Oktober, 2000 - 17:06: |
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Hi weissnichwie,
Am besten gefallen mir diejenigen Differentialgleichungen,
die man nicht mit irgendwelchen Rezepten lösen kann.
Ich glaube, Deine hier vorgelegte DGl.
y '' - 3 * y ' / x + 4* y / x ^ 2 = 2 ..................................( Gl I )
ist eine Gleichung dieser Art;
Sie verlangt zur Lösung ein wenig Phantasie und Intuition.
Wir schlagen zur Lösung einen Umweg ein und erreichen das Ziel
auf unerwartete Weise.
Die allgemeine Lösung lautet;
y = x ^ 2* (ln x ) ^2 - 2* x ^ 2 * ln x + 2 * x ^ 2
+ C1 * [x ^ 2* lnx - x ^ 2] + C2 * x ^ 2....................( Gl II )
C1 und C2 sind Integrationskonstante.
Itinerarium (Reisebeschreibung) zur Lösung
A]
Wir führen folgende Substitution aus: y / x = u(x), also
y = u * x ; die Ableitung mit der Produktregel nach x ergibt:
y' = u + x * u' und
y '' = 2 * u ' + x * u ''
Diese Terme werden in die gegebene DGl. eingesetzt,
und wir erhalten eine DGl. für die unbekannte Funktion
u = u(x); nach Wegschaffung der Brüche und Abwurf von
Ballast kommt die DGl für u:
x ^ 2 * u '' + u - x * u ' = 2 * x..........................................(GL III)
B] .
Jetzt folgt der Clou der ganzen Sache: wir leiten diese DGl.
nach x ab (Produktregel anwenden),werfen wiederum Ballast ab
und erhalten die DGl. dritter Ordnung für u:
x * u '' + x ^ 2 * u ''' = 2 ..................................................(Gl IV )
C]
Wir führen eine weitere Substitution durch:
u '' = v(x), daraus folgt u ''' = v'
Wir erhalten ein DGl erster Ordnung für v = v(x) , nämlich:
v ' = ( 2 - x * v ) / x ^ 2.......................................................( Gl V )
D]
Wir meditieren über die Beschaffenheit der allgemeinen Lösung
der (Gl V ) und finden schnell :
v = 2 * ln x / x + C1 / x ( C1: erste Integrationskonstante ) .....(Gl VI )
E]
In diesem Abschnitt brauchen wir bloss einige Integrale,
die wir bei Bedarf Tabellen entnehmen
Wegen v = u '' nimmt ( Gl VI ) die Gestalt an:
u '' = 2 * ln x / x + C1 / x .............................................................( Gl VII )
Durch Integration findet man daraus
u ' = [ ln x ] ^ 2 + C1 * ln x + C 2 mit C2 als
Integrationskonstante .
Nochmalige Integration führt auf
u = [ ln x ] ^ 2 * x - 2 * x * ln x + 2 * x
+ C1 * ( x * lnx - x ) + C2 * x..................................( Gl VIII )
Bei dieser Integration setzen wir die Integrationskonstante null
(Eine nähere Prüfung zeigt, dass sie weggelassen werden muss)
F]
Man erhält nun sofort die eingangs notierte allgemeine Lösung
y = y(x) , wenn man u mit x multipliziert,d.h.die rechte Seite von
( Gl VIII ) mit x multipliziert
Damit sind wir am Ziel angelangt !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
weißnichwie
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 03:18: |
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Su-per, kann ich da nur sagen. Die Meditation in [D] habe ich zwar durch den Trampelpfad der Methode der Variation der Konstanten ersetzt, aber ich hoffe, die Elemente der Phantasie, Meditation und Intuition eines Tages wenigstens zu einem Bruchteil so beherrschen zu können, wie ein Mega-math.
Danke!!! |
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