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Beitrag |
    
Bengt Maas
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 15:58: | 
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Gegeben ist der Graph der Funktion f mit
f(x)=-5x²+36,1 . Ein gleichschenkliges Dreieck werde vom Funktionsgraphen und der x-Achse derart eingeschlossen, dass ein Eckpunkt im Ursprung ist und die anderen beiden auf dem Graphen liegen.
Gesucht ist dasjenige Dreieck, das bei Rotation um die y-Achse einen Kegel mit dem größtmöglichen Volumen ergibt. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. Oktober, 2000 - 19:11: |
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Hi Bengt,
Die Achse der gegebenen Parabel fällt mit der y-Achse zusammen.
Wir lassen auch die Symmetrieachse des gleichschenkligen Dreiecks
ABC mit der y-Achse zusammenfallen: die Spitze des Dreiecks liegt
im Nullpunkt O des Koordinatensystems und die Ecken A und B der
Basis liegen auf der Parabel., symmetrisch zur y-Achse.
A habe die Koordinaten x = u und y = v ,welche somit die
Nebenbedingung
v = - 5* u ^ 2 + 36.1 erfüllen.
Wir berechnen das Volumen V des Rotationskegels aus dem Radius
r = u und der Höhe h = v.
Wir erhalten
V = 1 / 3 * Pi * u ^ 2 * v.
Wir ersetzen darin v durch den entsprechenden Wert aus der
Nebenbedingung und bekommen:
V = 1/3 * [ -5 * u ^ 4 + 36.1 * u ^ 2 ]
Wesentlich ist die Funktion f(u) = - 5 * u ^ 4 + 36.1 * u ^ 2 in
der eckigen Klammer, deren Maximum zu suchen ist.
Die Ableitung von f(u) nach u lautet
f ' (u) = - 20 * u ^ 3 + 72.2 * u = 0
Die von null verschiedene Nullstelle dieser Ableitung ist
u = u* = wurzel (3.61) = 1.9 und dies ist der gesuchte Radius
des Kegels; die zugehörig Höhe ist v = v* = -5*3.61 +36.1 = 18.05
Das maximale Volumen beträgt:
V = V* = Pi/3*3.61*18.05= 68.236.
Dass ein Maximum vorliegt, zeigt die zweite Ableitung
f '' (u) = - 60 * u ^ 2 + 72.2 , welche für u = u* negativ wird.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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