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Beitrag |
    
Benni
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 18:59: | 
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Hi,
wir machen grade im Mathe-LK vollständige Induktion.
Das Zeug drumrum hab ich geblickt, nur beim Nachweis
am Schluss bin ich ratlos. Ein Beispiel:
2^0 + 2^1 + 2² + 2³ + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1
1.) Induktionsanfang
n=0: 2^0 = 1
2^(0+1) - 1 = 1 --> Stimmt
2.) Induktionsschritt
Annahme: 2^0 + 2^1 + 2^k = 2^(k+1)-1
zu zeigen: 2^0 + 2^1 + 2^(k+1) = 2^(k+2)-1
Soweit ist mir alles klar, hier kommt mein Problem:
Nachweis: ???
Ich weiss, dass ich hier irgendwas gleichsetzen muss, aber ich weiss nicht was, und vorallem nicht warum. Ich hab mir bereits mehrere Aufgaben angeschaut, aber bei allen ist das was gleichgesetzt wird anders.
Was muss ich bei der Aufgabe gleichsetzten, und warum, und was muss ich generell gleichsetzen? (Auch bei Teilaufgaben und Ungleichungen)
Ich wäre wirklich sehr, sehr dankbar, wenn mir mal jemand das ganz ausführlich erklären könnte, denn zu allem Überdruss schreiben wir nächsten Mittwoch eine Klausur darüber.
CU
Benni |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 22:59: |
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Hi Benni,
generell kann man schlecht sagen, wie vorzugehen ist, mal ist es besser, von der ersten Zeile (hier: Annahme: 2^0 + 2^1 +...+ 2^k = 2^(k+1)-1 ) auszugehen und dies auf die zweite umformen (hier dann auf beiden Seiten 2^(k+1) zu addieren, dies führt links bereits auf die linke Seite der zweiten Zeile: (2^0 + 2^1 +...+ 2^(k+1) )
rechts muss noch eine Umformung gemacht werden:
2^(k+1)-1 +2^(k+1) = 2*2^(k+1)-1 = 2^(k+2)-1 , womit die rechte Seite der zweiten Gleichung da steht.
Jetzt hast du also von der ersten auf die zweite Zeile geschlossen. Manchmal ist der Blick etwas versperrt, in dem Fall helfe ich mir damit, die zweite Zeile aufzuschreiben und diese auf die erste umzuformen. (Sind es alles Äquivalenzumformungen gewesen, ist dann schon alles erledigt) Das würde in diesem Beispiel bedeuten:
zweite Zeile: (zu zeigen: 2^0 + 2^1 +...+ 2^(k+1) = 2^(k+2)-1 )
in der ersten Zeile kommt gar kein Exponent k+2 vor, forme daher die rechte Seite so um, dass nur k+1 im Exp. steht:
2^0 + 2^1 +...+ 2^(k+1) = 2*2^(k+1)-1
und wieder kann man die rechte Seite umformen:
2^0 + 2^1 +...+ 2^(k+1) = 2^(k+1)+2^(k+1)-1
Jetzt die linke Seite noch ausführlicher schreiben:
2^0 + 2^1 +...+ 2^k + 2^(k+1) = 2^(k+1)+2^(k+1)-1
und auf beiden Seiten 2^(k+1) subtrahieren.
Schon steht die erste Zeile da. |
Benni
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Oktober, 2000 - 13:47: |
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Hi,
erstmal Danke für deine Hilfe. Tut mir leid, wenn
es etwas länger gebraucht hat zu antworten, ich habe nämlich keinen eigenen Internetanschluss.
Was du mir erklärt hast, hab ich verstanden, aber
gibt es generell etwas zu Teilaufgaben (xxx ist durch y teilbar) oder Ungleichungsaufgaben zu sagen?
CU
Benni |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 18:13: |
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Hi Benni,
sehe jetzt erst deinen neuen Eintrag.
Wenn du mit "Teilaufgaben" solche meinst wie z. B. diese hier:
Behauptung: 9 ist Teiler von 10n + 3*4n+2 +5,
welche so bewiesen werden kann:
n=0: 1 + 3*42 +5 = 1 + 48 + 5 = 54, 9|54 ist wahr
n->n+1:
(1) 10n+1 + 3*4n+2+1 +5
(2) =10n*10 + 3*4n+2*4 +5
(3) =10n*(1+9) + 3*4n+2*(1+3) +5
(4) =10n + 3*4n+2 +5 + 9*10n +3*3*4n+2
wobei der andersfarbige Ausdruck derselbe ist wie der in Zeile (1),
und der Rest, 9*10n +3*3*4n+2 = 9*10n + 9*4n+2 ist natürlich durch 9 teilbar.
Wie wurde vorgegangen?
Der Ausdruck für n+1 wurde hingeschrieben, da das n mit Vorzeichen + im Exponenten steht, und so meist irgendwie das n vom Rest des Exponenten, in diesem Fall mit dem Potenzgesetz für das Rechnen mit Potenzen mit gleicher Basis, abgespalten werden kann.
Von Zeile 2 zu Zeile 3 wurde erkannt, dass die 10 aufgeteilt werden kann in 9+1, wobei die 9 schonmal im Hinblick auf den mutmaßlichen Teiler ganz passend erschien, gleichzeitig wurde der erste Summand 1*10n des zu teilenden Ausdrucks erhalten. Solche abgespaltenen Summanden, die genauso aussehen wie in der Ausgangszeile, werden z.B. nach links geschrieben, die auf den ersten Blick noch nicht unmittelbar teilbaren rechts stehengelassen. Von der 4 ließ sich auf den ersten Blick keine 9 als Summand abspalten, aber der Zusammenhang 3*3 = 9 ließ einen Fortschritt vermuten, so dass dann
in Zeile 4 der Ausdruck aus Zeile 1 stand und dahinter noch ein Summand, dem man nunmehr die Teilbarkeit durch 9 ansehen konnte.
Also allgemeiner Tipp für solche Teilbarkeitsaufgaben:
den Ausdruck, dessen Teilbarkeit durch t vermutet wird, für n+1 irgendwie aufteilen in den Ausdruck für n und einen Rest, der so lange umgeformt werden muss, bis dass man ihm die Teilbarkeit auch ansieht (Keine Garantie, dass dies für wirklich jede Teilbarkeitsaufgabe so funktioniert)
Ungleichungsaufgaben:
dort wird meistens eine Abschätzung ausgenutzt, das heißt, von dem Ausdruck auf der Kleiner-Seite des Relationszeichens, darf noch etwas abgezogen werden, zu dem Ausdruck auf der Größer-Seite darf noch etwas dazugetan werden, um von dem Ausdruck für n auf den für n+1 (oder umgekehrt) zu kommen.
Natürlich ist dabei darauf zu achten, dass nicht zuviel abgezogen bzw. dazugetan wird, nur gerade soviel, dass der zu zeigende Ausdruck erreicht werden kann.
Ist schlecht so allgemein zu formulieren.
Gruß, Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 19:32: |
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Ein Link zu Ungleichungen
Hinter diesen Links verbergen sich eine Reihe weiterer Links zu solchen Aufgaben:
Ungleichung, Teilbarkeit |
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