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frog
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 16:55: | 
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hey,
wer weiß, wie man beweist, dass die elementaren umformungen eines lgs 1. multiplikation einer gleichung aus dem lgs mit einer von null verschiedenen zahl 2. addition zweier gleichungen des lgs 3. vertauschen zweier gleichungen des lgs
äquivalente umformungen (d.h. die lösungsmenge bleibt gleich)sind?! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Oktober, 2000 - 11:52: |
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Hi frog,
Seien G*x=c mit G=(gij) c=(cj und x=(xi ein lineares Gleichungssystem mit i=1,...,m und j=1,...,n. Also n Gleichungen mit m Unbekannten. Sei Gj eine Abkürzung für die Gleichung die Gleichung Sm i=1 xi*gij= cj.
Diese Gleichung mit k!=0 zu multipliziert ergibt:
k * Sm i=1 xi*gij= k * cj
<=> Sm i=1 xi*k*gij= k * cj
<=> Sm i=1 xi*g'ij= c'j
wegen der Rechengesetze für die Addition und Multiplikation reeler Zahlen. Die neue Gleichung ist mit c'j = k*cj und g'ij = k * g'ij ebenfalls eine lineare Gleichung.
Bezeichne nun mit G' das Gleichungssystem mit k*Gj statt Gj und ansonsten den Gleichungen von G.
Hier gilt offensichtlich: eine Lösung x von Gj ist auch eine Lösung von G'j
Also gilt auch: eine Lösung von G ist eine Lösung von G'. Wegen der Äquivalenz bei obiger Umformung gilt auch das umgekehrte. Also haben die Gleichungssysteme G und G' die gleiche Lösungsmenge.
Auf ähnliche Weise geht auch der Rest. Ich finde es wird nur zunehmend schwerer es korrekt aufzuschreiben.
Wenn man bei 2. zur Gleichung Gj die Gleichung Gl addiert erhält man eine Gleichung G'j die von jedem x, das Gj und Gl löst ebenfalls gelöst wird. Und daraus folgt wieder, dass das Gleichungssystem G' mit G'j statt Gj ebenfalls von jedem x gelöst wird, das auch G löst. Auch das wieder umgekehrt usw.
Die meiste Arbeit besteht hier darin herauszuarbeiten, was überhaupt zu zeigen ist und dann bei der scheinbaren Trivialität der Behauptung im Beweis auch etwas relevantes zu zeigen.
Ich hoffe ich habe nicht selbst den Faden verloren.
Gruß
Matroid |
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