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Melanie (Melle2000)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 16:13: | 
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Es gilt zu beweisen:
A, B heißen unvereinbar wenn gilt: AundB=()
Ich soll jetzt beweisen: A, B seien unvereinbar und p(A)>0 und p(B)>0
=> A, B sind abhängig
Danke!!!!!!!!! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 18:10: |
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Hi Melanie,
ich muß mir erst ein Beispiel zurechtlegen:
Wir würfeln mit einem Würfel einmal.
Das Ereignis: "Eine Sechs wird geworfen" nenne ich A.
Das Ereignis: "Eine Fünf wird geworfen" nenne ich B.
A und B sind so ausgedacht, daß sie unvereinbar sind.
Beide Ereignisse haben eine positive Wahrscheinlichkeit (beide 1/6).
Die beiden Ereignisse sind auch voneinander abhängig, denn wenn A eintritt, kann nicht mehr B eintreten.
Mehr mathematisch formuliert: Die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung A ist 0. Schreibweise dafür p(A|B)=0
Beim Beweis ist vor allem die Definition von "abhängig" wichtig.
Definition: A und B sind unabhängig, wenn
p(A und B) = p(A) * p(B)
Der Satz den du beweisen sollst lautet ganz genau so:
Wenn A und B unvereinbar sind und die Wahrscheinlichkeit für beide nicht null ist, dann
sind A und B nicht unabhängig.
Nicht unabhängig bedeutet
p(A und B) != p(A) p(B).
Und das ist ja klar, denn p(A und B) ist nach Voraussetzung die leere Menge und p({})=0.
Da p(A) und p(B) beide größer null sind, ist
p(A)*p(B) >0.
Die Ungleichheit ist damit gezeigt und das bedeutet in der Sprache der Stochastik, daß A und B nicht unabhängig, also abhängig sind.
Alles klar?
Gruß
Matroid
Umgekehrt gilt es aber nicht, aus abhängig folgt nicht unvereinbar.
Beispiel:
A = Es wird eine 6 gewürfelt
B = Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.
Es ist p(A)=1/6 und p(B)=1/2
aber p(A und B) = 1/6 (weil die 6 eine gerade Zahl ist und es nur eine 6 unter den geraden Würfelzahlen gibt).
Hier ist p(A und B) != p(A)*p(B)
aber noch lange nicht A und B = {}. |
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