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Dennis (Zyron)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 15:35: | 
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Ich benötige dringend nen Beweis zum Einschachtelungssatz für Funktionen für meinen Leistungskurs!Möglichst verständlich, mit anleitung!
Vielen Dank
MfG Zyron |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 17:39: |
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Hi Dennis,
wie heißt den der Satz noch? Oder wie sieht er aus. Bei uns hieß der Satz vermutlich nicht so.
Gruß
Matroid |
Leichsi (Leichsi)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 23:41: |
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Hi Dennis
leider weiss ich nicht genau welchen Beweis du meinst, könntest du
mal ein Beispiel posten. |
Dennis (Zyron)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 11:48: |
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ich suche nen beweis für den einschachtelungsatz für funktionen, dieser besagt:
f und g seien Funktionen mit den Grenzwerten
lim f(x)= lim g(x) = F (beide für x->x0). Außerdem gilt f(x) <= h(x) <= g(x) für alle x
aus einer Umgebung von x0.
Dann hat auch die Funktion h den Grenzwert
lim h(x) =F
x->0 |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 07. Oktober, 2000 - 13:04: |
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Zum Beweis:
Da ich nicht weiß, welche Formulierung bei Euch die Definition von "Grenzwert" hat, verwende ich folgende
Definition: F ist Grenzwert von f(x) an einer Stelle x->x0, genau dann wenn es eine Umgebung U von x0 gibt, so daß für jedes e aus R>0 eine Zahl d aus R>0 existiert, so daß gilt:
Wenn 0<|d|<d(e) dann gilt auch |F - f(x0+d)| < e.
In Deinem Fall geht es dann so:
Wir nehmen uns ein e. Wegen der Grenzwerteigenschaften von f und g heißt das:
[1] Wenn 0<|d|<d(e) dann gilt auch |F - f(x0+d)| < e
und
[2] Wenn 0<|d|<d(e) dann gilt auch |F - g(x0+d)| < e
mit einem gemeinsamen d, denn man kann d als das Minimum von zwei zunächst gefundenen d1 und d2 wählen. Da f(x)<=h(x)<=g(x) in der x0-Umgebung, gilt dann auch |F - h(x0+d)| < e, denn man kann die Betragsstriche in
zwei Ungleichungen ohne Betragsstriche auflösen und dann h(x0+d) entweder nach unten mit f(x0+d) oder nach oben mit g(x0+d) gegen e abschätzen.
Besonders das mit der Abschätzung der Betragsstriche muß man noch ausformulieren.
Vielleicht mußt Du auch den Beweis an eine etwas anders formulierte Grenzwertdefinition anpassen. Das Argument der Abschätzbarkeit der Betragsstriche nach oben und unten bleibt aber. Das andere wesentliche Argument im Beweis ist die Wahl eines gemeinsamen d. Ohne das, kann man die Abschätzungen nicht machen.
Gruß
Matroid |
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