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Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 23:21: | 
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S.O.S. Seit Tagen versuche ich mein Aufgabenblatt mit den Aufgaben von a.) - d.) hier zu lösen. Letzter Versuch jetzt, ich muß es bis morgen früh um 9 Uhr fertig haben!!!
Also : eine gebr.-rationale Funktion
f(x)=(x^3+x^2+4) / (2x^2) ; x ungleich 0; Schaubild ist K. Ableitungen u. alles andere habe ich : N (-2/0), T(2/2), keine Wendepunkte, an der Stelle x=0 eine senkrechte Asymptote;
Nun : b.) Kurve K, die x-Achse und die Gerade x=z mit -2<z<0 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A(z). Berechne A(z). Untersuche a(z) für z->0.
c.) Untersuche, ob es eine Parabel mit g(x)=ax^2+bx+c gibt, die das Schaubild sowohl in N(-2/0), als auch in T(2/2) berührt.
Bitte hilf doch mal jemand, damit ich wenigstens ein Stückchen weiter komme!!! |
dakir
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 13:11: |
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Hallo Nadice,
nur keine Panik:
Wie Du an einer Skizze bestimmt siehst, mußt Du bei b) folgendes Integral bestimmen:
A(z) = Int[-2, z](f(x)dx) = Int[-2, z](x³+x²+4)/2x²dx
Sieht auf den ersten Blick vielleicht kompliziert aus, ist aber ganz einfach, wenn Du den Bruch "aufbröselst":
A(z) = Int[-2, z](x/2+1/2+2/x²)dx = x²/4+1/2x-1/x[-2, z] = 1-1+1/2 - z²/4 - 1/2z + 1/z = -z²/4 -1/2z + 1/z + 1/2
für z->0 geht dieser Ausdruck gegen +unendl.
Zu c)
Wenn eine Kurve eine andere Kurve berührt, heißt das, daß beide Kurven einen Punkt gemeinsam haben und daß ihre Steigungen übereinstimmen:
f(x0) = g(x0) = y0
f´(x0) = g´(x0)
=> f, g berühren sich im Punkt (x0, y0)
f(x) = x/2 + 1/2 + 2/x²
f´(x) = 1/2 - 4/x³
g(x) = ax² + bx + c
g´(x) = 2ax + b
Die Parabel g muß also durch die beiden Punkte N, T gehen und dort gleiche Steigung wie f haben, das macht 4 Bedingungen für 3 Unbekannte (a, b, c).
Berührung in (-2, 0), (2, 2)
(-2, 0):
g(-2) = f(-2) = 0
I) 4a - 2b + c = 0
g´(-2) = f´(-2) = 1
II) -4a + b = 1
(2, 2):
g(2) = f(2) = 2
III) 4a + 2b + c = 2
g´(2) f´(2) = 0
IV) 4a + b = 0
Ergibt folgendes Gleichungssystem:
I) 4a - 2b + c = 0
II) -4a + b = 1
III) 4a + 2b + c = 2
IV) 4a + b = 0
II) + IV) => 2b = 1 => b = 1/2
b in IV) => 4a + 1/2 = 0 => a = -1/8
a, b in I) => -1/2 - 1 + c = 0 => c = 3/2
Da es sich hier um ein überbestimmtes System handelte, mußt Du noch die Probe machen (paßt).
Also die Parabel
g(x) = -1/8x² + 1/2x + 3/2
berührt f(x) in (-2, 0) und (2, 2).
Hast Du noch Fragen?
Viel Glück, Daniel |
Nadice (Nadice)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 17:03: |
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Hab´s kapiert. Vielen lieben Dank, Dakir! Bis zum nächsten Kopfzerbrechen. Grüße |
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