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ollie
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 16:18: | 
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Hallo Leute,
wie bekomme ich, die Schnittwinkel mit der x-Achse der Funktion ((x^2)(x+1))-3(y^2)=0 und die Punkte mit Tangenten parallel zur x-Achse, sowie den Umfang und den Flächeninhalt der gebildeten Schleife.
Vielen Dank im voraus für die Lösung.
cu |
Florian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 21:19: |
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Hallo ollie,
die Stellen mit waagerechter Tangente entsprechen den Extremwerten bei der Kurvendiskussion.
Leite die implizite Gleichung für die Funktion aus der mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel ganz formal nach x ab. Setze einfach in der Ableitung y'=0 und löse nach x auf. Den y-Wert erhälst Du indem Du die Ausgangsgleichung nach y auflöst und die Werte für x einsetzt. Beachte dabei die Zweideutigkeit (+/-) der Wurzel aus y^2 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 20:58: |
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Hi Ollie,
Endlich soll Dir geholfen werden und zwar - wenn nötig -
umfassend !
Zuerst stelle ich die Resultate zusammen:
Die Schleife, von der die Rede ist, liegt im zweiten und
dritten Quadrant, symmetrisch zur x-Achse.
Sie geht durch den Nullpunkt, der die Rolle eines Doppelpunktes
spielt ;
Schnittwinkel mit der + x -Achse: 30° und 150°.
Sie schneidet die x-Achse ein zweites Mal im Punkt ( -1 / 0 ) ,
und zwar orthogonal.
Die Schleife ist eingeschlossen in einem Rechteck, dessen Seiten
achsenparallel sind:
Länge (x-Richtung) 1 , Breite (y-Richtung) 4 / 9 ~ 0.44 ;
Die Geraden y = 2 / 9 berührt die Kurve im Punkt B (- 2 / 3 ; 2 / 9),
analoges gilt für y = - 2 / 9.
Die Schleife umschliesst eine Fläche mit dem Inhalt
A = 8 / 45 * wurzel (3) Flächeneinheiten.
Der Umfang misst L = 4 / 3 * wurzel (3) Längeneinheiten
Anregung
Man lese in einer guten Darstellung der Schleife Näherungswerte
für A und L ab
Ich bin gerne bereit, auf Wunsch einzelne Resultate herzuleiten,
die Fläche sogar auf zwei verschiedene Arten.
Bis dann !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 15:58: |
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Hi
Gerne erfülle ich die Bitte nach Herleitung des Flächeninhaltes
F der Schleife ,und ich möchte dazu zwei verschiedene Methoden
vorführen
1.Methode.
Benützung rechtwinkliger Koordinaten
Aus der Funktionsgleichung
y = f(x) = - wurzel (3) / 3 * x * wurzel (x + 1)
für die ( obere ) halbe Schleife erhält man
F = 2 * int [ f(x) * dx ],untere Grenze -1,
obere Grenze 0
Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion H
von g(x) = x * wurzel (x + 1 ).Wir schreiben:
x * wurzel( x + 1 ) = {-1 + ( x + 1)} * wurzel ( x + 1 ) =
- wurzel ( x + 1 ) + ( x + 1 ) ^ ( 3 / 2 )
.
Damit lässt sich H sofort bestimmen:
H = - 2 / 3 * ( x + 1 ) ^ ( 3 / 2 ) + 2 / 5 * (x + 1 ) ^ ( 5 / 2).
Das bestimmte Integral über f(x) kann nun leicht
berechnet werden ; es kommt:
F = - 2/3 *wurzel(3) [-2/3 + 2/5] = 8 / 45 * wurzel(3)
2.Methode
Benützung von Polarkoordinaten
In der gegebene impliziten Gleichung ersetzen wir
konsequent x durch r * cos t , y durch r * sin t .;
dabei sind r der Radiusvektor und t der Phasenwinkel
der Polarkoordinaten mit dem Nullpunkt O als Pol
und der x-Achse als Polarachse.
Wir erhalten die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten,
nämlich:
r = [ 3 * ( tan t ) ^ 2 - 1 ] / cos t
Die Fläche F der Schleife ist das bestimmte Integral über
1 / 2 * r ^ 2 , untere Grenzen t1 = - Pi / 6 ,
obere Grenze t2 = Pi / 6.
Wie eine weitergehende Untersuchung ergibt, ist
K(t) = 9/10 * (tan t)^5 - (tan t )^3 + 1 / 2 * tan t eine
Stammfunktion.
Wertet man das Integral aus , so erhält man wiederum
das obige Resultat;
bravo!
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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