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Jasmin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 08:07: | 
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Einem Halbkreis vom Radius r=6 soll ein Rechteck so eingeschrieben werden, dass eine seite auf dem Durchmesser liegt und der Flächeninhalt möglichst groß ist. |
Alex
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 08:11: |
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Welcher Punkt des Graphen der funktion f:x=2WURZEL von x hat vom PUNKT (3;0) den kleinsten Abstand? |
Michael (Relaxer)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 16:57: |
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Hallo Jasmin, hoffentlich klappt das mit dem Bild (mach ich nämlich zum ersten Mal).
Also, die Aufgabe beginnen wir mal mit ein paar Fragen:
1. Welche Größe soll maximal werden?
--> A=a·b
2. Welchen Nebenbedingungen gibt es, um a oder b zu ersetzen?
Du erkennst sicher den Pythagoras in der
Zeichnung r2=(a/2)2+b2
Wir ersetzen b=sqrt(r2-a2/4) bzw. b=sqrt(36-a2/4)
3. Zielfunktion:
A=a·sqrt(36-a2/4) bzw. A=sqrt(a2·(36-a2/4))
oder noch besser:
A=(36a2-1/4·a4)1/2
4. Berechnen des Maximums der Zielfunktion:
(Ableiten nach Kettenregel)
A'= 1/2·(36a2-1/4·a4)-1/2·(72a-a3)
In Bruchschreibweise:
72a-a3
------------------------------
2·(36a2-1/4·a4)1/2
Dieser Term wird auf Null gesetzt, d. h. es genügt, wenn der Zähler gleich Null wird.
0=72a-a3
a=sqrt(72) bzw. a=sqrt(36)·sqrt(2)
a=6·sqrt(2) allgemein: a=r·sqrt(2)
--> b=3·sqrt(2) allgemein: b=r/2·sqrt(2)
Der Nachweis, dass es sich um ein Maximum handelt, erfolgt mit der 2. Ableitung, aber die mach ich erst nach dem Abendbrot!
Gruß Relaxer |
Michael (Relaxer)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 17:04: |
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Michael (Relaxer)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 17:33: |
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Hallo Axel,
der Punkt auf dem Graphen heißt P (1 ; 2), der kürzeste Abstand lautet d = sqrt(8).
Gruß Relaxer! |
Michael (Relaxer)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 18:43: |
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Hallo Jasmin,
die 2. Ableitung wird gebildet unter Nutzung der Quotienten- und Kettenregel und erstreckt sich mit diversen Termumformungen über 3 A4-Seiten.
Letztlich ergibt sich:
f''=(-216a+a3) / (sqrt(144-a2))3
Man setzt die Lösung a in diese Gleichung ein:
f''(sqrt(72))= -2 --> Es handelt sich um ein Maximum.
Gruß Relaxer! |
Brunstl
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 21:10: |
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Hallo,
beim Stoebern durch Zahlreich bin ich auf diese Aufgabe von Jasmin gestossen. Zu dieser Aufgabe moechte ich einige vereinfachende Bemerkungen machen, die auch zur Loesung anderer Extremwertaufgaben nuetzlich sein koennen. Um die lokalen Extremstellen von der Zielfunktion zu bestimmen, ist ja deren 1. Ableitung zu bestimmen und 0 zu setzen. Aufgrund der Struktur der Zielfunktion braucht man aber nur von der Funktion B=A^2=a^2*(36-a^2/4)=36a^2-a^4/4 die lokalen Extremstellen bestimmen. B'(a)=72a-a^3=a(72-a^2). Ist doch wirklich einfacher! Dann ergibt sich
der gleiche Wert ... Nun noch eine Bemerkung zum Feststellen des lokalen Maximum/lokales Minimum: Wenn ich die 1. Ableitung vom Michael nehme A'(a)=1/2·(72a-a^3)*(36a^2-a^4/4)^(-1/2) ergibt sich fuer A''(a)=1/2*{(72-3a^2)*(36a^2-a^4/4)^(-1/2)+(72a-a^3)*[(36a^2-a^4/4)^(-1/2)]'}. Die Muehe den letzten Term abzuleiten erspar ich mir, denn ich sehr schon hier folgendes: Gesucht ist ja der Wert der 2. Ableitung der Zielfunktion an der lokalen Extremstelle. Da diese aber genau so bestimmt ist, dass 72a-a^3=0 ist der zweite Summand in A'' gleich Null. Also: mit e=lokale Extremstelle A''(e)=1/2*(72-3e^2)*(36e^2-e^4/4)^(-1/2)=(72-3e^2)/SQRT(144e^2-e^4)=-2.
Die Ueberlegung, dass ein Teil in der 2. Ableitung verschwindet, spart viel Zeit und Fehler beim Zusammenfassen koennen auch vermieden werden. Zum Schluss sollte immer noch eine Bemerkung zum globalen Maximum erfolgen, denn bei einer Extremwertaufgabe sind stets globale, nicht lokale Extrema gesucht. Nehme ich als Definitionsbereich der Zielfunktion ein offenes Intervall: 0<a<12[LE] so ist das globale Maximum zugleich das lokale Maximum.
Mit freundlichen Gruessen
Claudia K. |
liborius
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 15:13: |
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5y-4x/10xy-3x+2y/5xy
folgender Bruch gleichnamig machen.Wie geht das???
kann mir jemand weiterhelfen???????? |
Jang
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 17:17: |
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Wie findet man die Umkehrfunktion zu
f(x)=(x+1)/x |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 20:26: |
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Bei neuer Frage bitte immer neuer Beitrag - nicht irgendwo anhängen.
Nun zur Aufgabe von Jang:
Man kann ja kürzen: f(x) = y = 1 + 1/x und dann nach y auflösen. So bekommt man die Umkehrfunktion.
Und zur Frage von liborius:
Bitte schreib die Aufgabe noch mal mit Klammern, ich kann das nicht klar erkennen, was im Zähler und im Nenner steht.
Heißt es vielleicht: (5y-4x) / (10xy) - (3x+2y) / (5xy)
Gruß
Matroid |
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