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Christian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 21:57: | 
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Hi, ich muß allgemein das bestimmte Integral von sin(x) im Bereich zwischen a und b durch Summation herleiten.
Ich weiß dass, das Ergebnis cos(a)-cos(b) ist und das man die Herleitung über die goniometrische Formel führen kann, wobei sich dann alle cos-Funktionen bis auf die der linken und rechten Interval-Grenzen eliminieren.
Frage 1: Kann man den Beweis auch anders führen ?
Frage 2: Wie soll man eigentlich auf so eine Herleitung selbst kommen ???? |
Pepe
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 23:39: |
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Hallo Christian,
am einfachsten berechnet man das Integral von sin(x), indem man sich zunächst die Reihenentwicklung für -cos(x) hinschreibst:
sin(x)=-S¥ k=0(-1)k*x2k/(2k)!
Leite jeden Summand ab, und Du wirst sehen , -cos(x) ist die Stammfunktion von sin(x). Auf Probleme wie Konvergenz oder die Herkunft der Reihen kann ich hier nicht eingehen, da schau am besten in ein Mathebuch.
Zu 2.
Welche goniometrische Formel meinst Du, goniometrische Gleichungen sind eine ganze Klasse von Gleichungen ! Schreib doch noch einmal genaueres ! |
Pepe
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 23:41: |
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Die Funktion vor der Reihe muß natürlich
- cos(x)heißen, sorry |
Christian
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 07:50: |
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Das Problem ist dass wir noch keine Stammfunktionen und so haben. Ich muß das Integral durch Summation herleiten. Also als Reihe von Sinusfunktionen auffasssen (genau wie eine Potenzreihe). Da wir aber keine Reihe von Sinusfunktionen haben, kann ich das Problem anscheinend nur lösen wenn ich so umforme, dass sich die Sinuswerte gegenseitig eliminieren.
Ich meine flogende Formel
cos(alpha)-cos(beta)=-2sin((alpha+beta)/2)*sin((alpha-beta/2)) |
habac
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 16:03: |
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Hi Christian
wenn ich dich richtig verstehe, sollst Du die Fläche unter der Sinuskurve durch eine Summe von Rechtecken approximieren und davon den Grenzwert nehmen (für die Grundseite der Rechtecke gegen 0).
Ich denke, es geht so: Teile das Intervall von a bis b in n gleiche Teile, errichte über jedem Teil das Rechteck mit der Höhe der Sinuskurve über dem Mittelpunkt des Teils.
Wenn xk und xk+1 zwei benachbarte Teilpunkte sind, die ich jetzt zur Abkürzung mit a und b bezeichne, so ist die Höhe des Rechtecks gerade sin((b+a)/2). Die Grundseite ist b-a = 2*(b-a )/2. Wenn du jetzt noch benutzst, dass für kleine Winkel e der sine ungefähr gleich e ist, so so kannst du (b-a)/2 durch sin((b-a)/2) ersetzen und hast so gerade das Produkt, das nach deiner Formel durch die Differenz der Cosinus-Werte ausgedrückt werden kann. Beim Summieren fallen alle Cosinuswerte ausser dem ersten und dem letzten weg.
So sollte es gehen! |
Christian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Oktober, 2000 - 18:51: |
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Danke für die Erklärung. Letztendlich läuft die Sache anscheinend immer auf eine Differenz der Cosinus-Werte hinaus, falls man versucht das Integral durch Summation herzuleiten. |
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