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Beitrag |
    
Michael Ziegler (Lerw)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 17:55: | 
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Hallo, ich war 2 Monate auf Austausch in den USA und schreibe Donnerstag ne Matheklausur (12. Klasse).
Ich habe folgendes Problem und würde mich über eine wirklich umfassende Lösung freuen, sonst hab ich nämlich ein großes Problem :-(.
Mich interessiert weniger die Lösung(die hab ich selbst), sondern der Weg:
Aufgabe:
Untersuchen Sie (in geeigneter Reihenfolge) folgende Graphen auf Symetrie, gemeinsame Punkte mit dr x-, bzw. mit der y-Achse, Lage und Art der Extrem- und Wendepunkte, das Verhalten für x zugeordnet +/- unendlich.
a) k::y=f(x)= 2x^3-2x
b) k::y=f(x)= x^3-2x^2
c) k::y=f(x)= x^4-2x^3
d) k::y=f(x)= x^4-4x^3+27
e) k::y=f(x)= 1/10(x^5-15x^3)
f) k::y=f(x)= (x^2+2)(x^2-3)
Wär nicht schlecht wenn ich 1x die verschiedenen Methoden mit Beispiel und Namen zusammenhätte.
Danke
Michael |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 16:36: |
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Hi!
Werde mal versuchen, dir zu helfen...
Da du sehr viele Beispiele angegeben hast, werde ich dir allerdings nur die wichtigen Formeln und den Lösungsweg zu einer Aufgabe geben. Bei der Untersuchung von Graphen oder Funktionen kann man nämlich dann immer nach dem gleichen „Rezept“ vorgehen.
Also, für die Funktion f(x)=2x^3-2x mache ich mal zur Verdeutlichung eine Kurvendiskussion...
ABLEITUNGEN
Als erstes sollte man sich die ersten drei Ableitungen bilden...
Das sind in diesem Fall:
f’(x)=6x^2-2
f’’(x)=12x
f’’’(x)=12
PUNKTE MIT DEN ACHSEN
Mit der x-Achse!
Hier setzt du die Funktion gleich NULL!
Das ist in diesem Falle:
F(x)=0 also 2x^3-2x=0 <=> x(2x^2-2)=0 <=> x=0 und x^2-1=0 also, sind die gemeinsamen Punkte mit der x-Achse
N(0/0), M(-1/0) und K(1/0)
Mit der y-Achse!
Hier setzt du in der Funktion x gleich NULL!
Also: F(0) = 2*0^3-2*0 =0
[-> Wendepunkt (siehe später!)]
SYMMETRIE
Dann untersucht man die Funktion auf die Symmetrie. Es gibt dabei zwei verschiedene Arten von Symmetrie.
a) Achsensymmetrie : Bedingung: f(x) = f(-x)
b) Punktsymmetrie : Bedingung: f(x) = -f(-x)
Das ist in diesem Fall:
Zu a) 2(-x)^3-2(-x) = -2x^3+2x ist nicht 2x^3-2x; also nicht achsensymmetrisch!
Zu b) –[2(-x)^3-2(-x)] = - [-2x^3+2x] = 2x^3-2x; also ist die Funktion punktsymmetrisch!
EXTREMSTELLEN
Bedingungen für Extremstellen sind:
Maximum: f’(x)=0 und f’’(x)<0
Minimum: f’(x)=0 und f’’(x)>0
Hier:
F’(x)=0, also 6x^2-2=0 <=> 6x^2=2 <=> x^2=1/3 <=> x= wurzel(1/3) und x= - wurzel(1/3)
Einsetzten in f’’(x):
F’’(wurzel(1/3)= 12*wurzel(1/3) > 0 -> Minimum!
F’’(-wurzel(1/3))= 12*(-wurzel(1/3)) < 0 -> Maximum!
Um die genauen Punkte der Extremstellen zu bekommen, musst du jetzt noch die Werte (wurzel1/3) und (-wurzel1/3) in die Funktionsgleichung f(x) einsetzten!
WENDEPUNKTE
Bedingungen:
F’’(x)=0 und f’’’(x) ungleich 0!
Hier: f’’(x)=0 also 12x=0 <=> x=0
In f’’’(x)!
F’’’(0)=12 ungleich 0 --> Wendepunkt!
Einsetzten in f(x) ergibt, dass der Wendepunkt bei
F(0)=2*0^3-2*0 = 0
W(0/0) ist!
VERHALTEN x gegen (minus) unendlich
Dabei musst du die Grenzwerte bilden. Man kann es sich leicht machen, indem man mal zur Probe ne extrem Große (gegen unendlich) oder ne extrem kleine (gegen minus unendlich) Zahl einsetzt!
Hier ergibt sich, dass der Graph gegen unendlich ins positive verläuft, und gegen minus unendlich in negative!
Wie gesagt, die Rechnungen der anderen Funktionen sind nach dem gleichen Rezept zu erledigen. (bei der letzten erst die Klammer auflösen, dann werden die Rechnungen leichter!)
Mit freundlichen Grüßen schwobatz |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 16:37: |
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hilft das? Meld dich mal! |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 16:37: |
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rechne mal die anderen Aufgaben durch! |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 16:38: |
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wenn du sonst noch irgendwelche Fragen zu den Aufgaben oder zu anderen Themengebieten ast, die in deiner Klausur drankommen, schreib mir ne mail!
mfg schwobatz |
Michael Ziegler (Lerw)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 16:59: |
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DANKE, alles wunderbar erklärt, habs gepeilt ;-).
Habe aber noch ein paar Aufgaben, wenn ihr mir da ähnlich gut helfen könntet wird das mit der Klausur klappen :-).
Ich poste sie als neues Topic.
DANKE!!!!!
LErw |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 20:31: |
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Alles klar!
Bis dann!
schwobatz |
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