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Anna
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 16:38: | 
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Welcher Drehzylinder hat bei gegebenem Umfang U des Achsenschnittes a) den größten Mantelflächen inhalt? b)das größte Volumen? Gib den radius r der Grundfläche und die Höhe h des Zylinders an!
Bitte mit Nebenrechnungen!
DANKE!!! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 17:51: |
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Hi Anna ,
Wir wollen Dich nicht im Stich lassen !
Für beide Aufgabenteile gilt die Nebenbedingung
Umfang u des Achsenschnittes, ausgedrückt durch
den Radius r und die Höhe h des Zylinders:
u = 4 r + 2 h , daraus :
h = u / 2 - 2 r.........................................................................(NB)
a) Mantelfläche M = 2 Pi * r * h , mit (NB) :
M = M ( r ) = Pi * ( r * u - 4 * r ^ 2 )
Ableitung von M nach r :
M ' ( r ) = Pi * (u - 8 * r )
Diese Ableitung ist null für r = u / 8
M '' = Pi * ( - 8 ) < 0 , demnach liegt ein Maximum vor..
Aus r = u / 8 folgt h = u / 4 und M max = Pi / 16 * u ^ 2
b) Volumen V = Pi * r ^ 2 * h , mit (NB):
V = Pi / 2 * [ u * r ^2 - 4 * r^3 ] ; sei der Inhalt der eckigen Klammer
mit f( r ) bezeichnet.
Dann gilt : f ' ( r ) = 2* u * r - 12 * r ^ 2
Dies ist null ausser für r = 0 (irrelevant) noch für r = u / 6 ;
da f ''(u/6) = - 2 * u , also negativ ist, liegt ebenfalls ein Maximum vor.
Es gilt für r = u / 6: h = u / 6 und V max. = Pi * u ^ 3 / 216.
Gruss
H. R . Moser,megamath. |
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