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Stine (Stinky)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 15:51: | 
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Ich habe ein Problem: Ich soll mit Hilfe der Umkehrregel beweisen,dass (WURZEL x)'=
[x^(1/n)]'=1/n*x^((1/n)-1) ist.
Könnt ihr mir wenigstens Tipps für den Ansatz geben. Das wäre supertoll.
Danke |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 02:43: |
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Hallo Stinky,
ich gehe mal von drei Voraussetzungen aus, die zutreffen müssen, damit das hier Deine Frage beantworten kann:
1.) mit WURZEL meinst Du die n-te Wurzel nÖ
2.) mit Umkehrregel meinst du die Regel zur Ableitung der Umkehrfunktion von f(x) = y,
(f-1)'(y) = 1/f'(x)
3.) die Einschränkungen für den Definitionsbereich von f, der sich dann in den Wertebereich von f-1 umwandelt und umgekehrt, sind Dir bekannt und werden nicht extra aufgeschrieben.
es gilt also y = f(x) = nÖx = x1/n
gesucht ist f'(x); dazu stelle Formel nach x um:
x = yn, also (f-1)(y) = yn
Du weißt, dass (f-1)'(y) = n * yn-1 ist.
Mit der "Umkehrregel" folgt f'(x) = 1/(f-1)'(y)
und damit f'(x) = 1/(n*yn-1) und mit y = x1/n
f'(x) = (1/n) * 1/(x1/n)n-1
= (1/n) * x-(n*1/n - 1*1/n)
= (1/n) * x1/n - 1 |
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