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Dani
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 22:10: | 
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Hi ihr,
wenn ich die Fkt: f(x)=x^3+x^2+2x+2/x+1
habe, gibt es da auch eine andere Möglichkeit außer mit Polynomdivision herauszubekommen, dass das keine gebr.-rationale Fkt ist?
Kann man das irgendwie sehen?
Danke,
Dani |
Robert Ellenbeck (Schwobatz)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 15:29: |
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Wenn du das Vorzeichen der Zahl des Nenners umdrehst, also zu -1 machst,
hast du die Zahl, durch die die Funktion teilbar sein müsste. Wenn du jetzt
diese -1 in den Zähler einsetzt und das Ergebnis richtig ist
(-1)3+(-1)^2+2*(-1)+2=0 => 0=0!!!; dann hast du keine gebr. rationale
Funktion! Des geht allerdings nur, wenn im Nenner ein Gebilde mit x+a oder
natürlich auch x-a (a element reeller Zahlen) steht!
mfg schwobatz |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 17:21: |
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Hallo Schwobatz,
so einfach ist es nicht. Es wäre durchaus möglich, dass die Zähler- und Nennerpolynome mehrfach identisch reduzibel sind, d.h. als Produkt mehrer gleicher Linearfaktoren in Zähler und Nenner (über den reellen Zahlen) darstellbar.
Das von Dani geschilderte Problem bezieht sich auf die Existenz von sog. "Hebbaren Definitionslücken", also solchen Ausdrücken der Form 0/0, wie Du schon ganz richtig bemerkt hast. Nun ist es aber so, dass das nicht immer so eindeutig ist, denn nicht bei jedem Kürzen der entsprechenden gleichen Linearfaktoren ist Zähler und Nenner entsteht eine ganzrationale Funktion.
Um die Sache abzukürzen:
Es sei (x-a)s eine s-fache Nullstelle des Nenners und (x-a)r die r-fache Nullstelle des Zählers. Außerdem sei p(x) das bei der Polynomdivision entstandene Eregbnis für den Zähler und q(x) entsprechendes beim Nenner, es gilt also Z(x) = p(x)* (x-a)r und N(x)= q(x)*(x-a)s. Außerdem seien p(x) und q(x) ungleich Null.
Nun unterscheiden wir drei Fälle:
1. s > r
Dann entsteht nach dem Kürzen weiterhin eine gebrochenrationale Funktion, die Definitionslücke wird zur Polstelle, weil der Grenzwert für x->a nicht existiert, also eine Funktion der Form
f(x) = p(x)/(q(x)*(x-a)s-r)
2. s = r
Hier entsteht eine weiterhin gebrochenrationale Funktion mit f(x) = p(x) / q(x). Der Grenzwert für x->a existiert.
3. s < r
Damit erhalten wir dann f(x) = (p(x)*(x-a)r-s)/q(x)
a ist dann auch Nullstelle von f.
Damit haben wir kurz die drei möglichen Fälle aufgezeigt. Am besten kurz auf dem Papier verdeutlichen.
Viele Grüße
 Oliver |
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