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kerstin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 14:02: | 
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Hallo Leute!
Ich bin Kerstin und habe ein Problem! Ich muss zu Montag folgende Aufgabe lösen:
Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius R=3. Der Kugel soll ein Kegel mit maximalen Volumen einverleibt werden. Berechne die Maße des Kegel.
Ich habe schon verschiedene Lösungswege versucht aber ich komme nicht auf den richtigen Weg.
Für Eure Hilfe vielen Dank im Voraus!
EURE KERSTIN!!!! |
dakir
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 15:01: |
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Hallo Kerstin,
Wir verleiben (*g*, schönes Wort) einer Kugel einen Kegel ein.
Die Kugel habe den Radius R, der Kegel den Radius r und die Höhe h.
Als erstes müssen wir einen Zusammenhang zwischen r und h herstellen. Mit einer Skizze und in Gedenken an Pythagoras wirst Du folgenden Zusammenhang sehen: (w steht für Wurzel)
h = R + w(R² - r²), oder andersrum:
r = w(R² - (h - R)²)
Das Volumen des Kegels V berechnet sich wie folgt:
V = 1/3 * pi * r² * h
Zur Einfachheit lassen wir die Konstanten weg und erhalten damit die zu maximierende Funktion F(h):
F(h) = r² * h = (R² - (h - R)²) * h = (R² - h² + 2hR) * h = -h³ + 2h²R + R²h
F´(h) = -3h² + 4hR
F´´(h) = -6h + 4R
Notwendige Bedingung für ein Maximum ist F´(x) = 0
-3h² + 4hR = 0
h = 0 (irrelevant) oder h = 4/3 * R
F´´(4/3 * R) = - 4R < 0 => Das heißt für h = 4/3 * R ist das Kegelvolumen maximal.
Maße des Kegels:
h = 4/3 * R
r = 2*w(2)/3 * R
Hast Du noch Fragen?
Viel Glück, Daniel |
Kerstin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 18:00: |
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Vielen Dank Daniel! Dank Deiner Hilfe habe ich endlich mal was verstanden. Bis dann Daniel mein Held.
Kerstin |
andreas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 13:47: |
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Hallo, Daniel!
Ist da nicht ein Fehler drin?
Du schreibst
F(h)=r²*h=(R²-(h-R)²)*h=(R²-h²+2hR)*h=-h³+2h²R+R²h
F´(h) = -3h² + 4hR
Ich meine, F'(h) müßte lauten
F'(h) = -3h² + 4hR + R²
Dann ergibt sich schließlich
h = 2/3*R + 1/3*R*w7
Oder sehe ich das falsch?
Gruß
Andreas |
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