| Autor |
Beitrag |
    
Eric Treffel (Treffic)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 06:13: | 
|
Hallo zusammen,
wir haben wieder mit Folgen und Reihen angefangen, aber ich hab gar keine Ahnung mehr davon! Und zuallererst kommt der natürlich mit Aufgaben. 
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig helfen.
Also:
Definieren Sie die Konvergenz einer Floge (a[n]) gegen den Grenzwert a und zeigen Sie mittels dieser Definition, daß:
lim (sin(n)+cos(n))/(wurzel(n)) = 0.
n->unendl
das der Grenzwert 0 ist, weil sin(n) und cos(n) maximal 1 werden können, während wurzel(n) unendl. gross wird ist mir schon klar, aber das kann ich nich beweisen oder zeigen!
Falls es erlaubt ist, poste ich die anderen Aufgaben auch noch! Allerdings wär es mir lieber, wenn ich die selbst lösen könnte! |
Eric Treffel (Treffic)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 07:06: |
|
so, hier noch die weiteren Aufgaben in Kurzform, wär nett, wenn mir jemand (oder auch verschiedene) da ebenfalls nen kurzen Lösungsweg geben kann, und die richtige Lösung zum vergleichen! schonmal im Vorraus thx!
2) Die Folge a[n] sei folgendermaßen definiert
a[1]=wurzel(2); a[n]=wurzel(2*a[n-1]) , n=2,3,4,...
Konvergiert diese Folge? Was ist gegebenenfalls ihr Grenzwert? (ich denk mal 2, aber zeigen kann ich es nich)
3) a[n]=cos(n*pi + 1/n)
b[n]= sin(n*pi + 1/n)
Konvergenz und Grenzwert (keine Ahnung)
4) a[n] = (-1)^n * n^(-1)^n
konvergent oder divergent? (und wieso?)
5) a[n] = (cos(n*x))/(x²+n²)
konvergent oder divergent? (und wieso?)
6) a[n] = wurzel(n)*(wurzel(n+1)-wurzel(n))
zeigen, daß die konvergiert (aah zeigen...)
7) lim n*(wurzel(n²+a²)-n)
n->oo
grenzwert?
8) beweise
für alle a aus R+
lim n-te-wurzel(a) = 1
n->oo
Ich hab bei den meisten Aufgaben noch nich mal den Ansatz geschafft, ich brauch Hilfe! |
dakir
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 11:12: |
|
Hallo Eric,
Du hast bei Deiner ersten Aufgabe schon richtig gelegen, aber ich denke Dein Lehrer wollte hier einen formalen Beweis, der sich nach der Definition der Konvergenz richtet.
Also Konvergenz der Folge a(n) gegen a heißt, daß zu jedem eps > 0 ein N existiert, so daß für alle n > N gilt: |a(n) - a| < eps.
Nun zu der Aufgabe: Es gilt zu zeigen:
Für alle eps > 0 existiert N, so daß für alle n > N gilt:
|(sin(n) + cos(n))/sqrt(n) - 0| < eps =>
|sin(n) + cos(n)| < eps*sqrtr(n), sin(n) + cos(n) < 2 =>
2 < eps*sqrt(n) =>
n > 4/sqr(eps),
d.h. für alle n > 4/sqr(eps):=N (ggf. aufrunden) gilt |..|<eps, und damit ist die Konvergenz bewiesen.
Zu Deinen anderen Aufgaben:
2)
Es gibt einen Satz, der besagt, daß eine monotone, beschränkte Folge konvergiert.
- a(n) monoton:
Es gilt zu zeigen a(n+1) > a(n) für alle n.
sqrt(2 * a(n)) > a(n)
2 * a(n) > sqr(a(n))
a(n) < 2,
d.h. die Folge ist genau dann monoton wachsend, wenn sie nach oben durch 2 beschränkt ist.
- a(n) beschränkt:
Es gilt zu zeigen a(n+1) < 2 für alle n.
sqrt(2 * a(n)) < 2
2 * a(n) < 4
a(n) < 2,
d.h. a(n+1) ist genau dann < 2, wenn a(n) < 2 ist. Da aber a(1) = sqrt(2) < 2, folgt daraus, daß alle a(n) < 2 sind.
Daraus folgt, daß a(n+1) > a(n) für alle n.
Damit haben wir bewiesen (monoton + beschränkt), daß ein Grenzwert existiert. Der Grenzwert a berechnet sich so:
a = sqrt(2*a) => a = 2.
Zu 3)
n*pi + 1/n -> n*pi (da 1/n -> 0)
cos(n*pi) = +1 oder -1, d.h. a[n] divergiert
sin(n*pi) = 0, d.h. b[n] -> 0
Zu 4)
Wenn ich Dich richtig verstehe divergent. Betrachte z.B. nur gerade n. Dann gilt:
n*n^n. Dies div. sicherlich gegn +unendl.
Zu 5)
a(n) = cos(n*x)/(sqr(x) + sqr(n))
|a(n)| < 1/(sqr(x) + sqr(n))
sqr(x)+sqr(n) -> unendl.
=> a(n) -> 0
Zu 6)
Hier hilft, wie so oft, ein kleiner Trick. (Ich schreibe für Wurzel hier nur w()):
a(n) = w(n) * (w(n+1) - w(n) = w(n*n(+1)) - n
Jetzt kommt der Trick: Wir betrachten diesen Ausdruck als Bruch und erweitern mit (w(n*(n+1)) + n). Dies hat den Effekt (3. Binomi!), daß "oben" keine Wurzeln mehr stehen.
a(n) = (w(n*(n+1)) - n) * (w(n*(n+1)) + n) / (w(n*(n+1)) + n) = (3.Bi) = (n^2 + n - n^2) / (w(n*(n+1)) + n) =
n / (w(n^2 + n) + n)
Nun dividieren wir noch "oben" und "unten" durch n (d.h. in der Wurzel n^2):
a(n) = 1 / (w(1 + 1/n) + 1/n)
1/n -> 0 => a(n) -> 1
Zu 7)
Gleicher Trick wie bei 6):
a(n) = n * (w(n^2 + a^2) - n) = n * a^2 / (w(n^2 + a^2) + n) = a^2 / (w(1 + a^2 / n^2) + 1
a^2 / n^2 -> 0, bleibt übrig a(n) -> a^2 / 2
Zu 8)
Es gilt zu zeigen: (n-te W. bez. ich mit w[n](..))
Für alle eps > 0 existiert N, so daß für alle n > N gilt:
|w[n](a) - 1| < e
Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:
a) a = 1: hier gibt es nichts zu tun.
b) a > 1, dann ist auch sicherlich w[n](a) > 1, also:
|w[n](a) - 1| = w[n](a) - 1 < eps =>
w[n](a) < 1 + eps =>
a < (1 + eps)^n
Da (1 + eps)^n mit n gegen u. sicherlich auch gegen u. strebt, wird dieser Ausdruck auch sicher > a sein, ab einem gewissen N. Damit wäre |..| < eps gezeigt und damit die Konvergenz.
Man kann dies aber auch so sehen:
a < (1 + eps)^n (log auf beiden Seiten)
log a < log(1 + eps)^n
log a < n * log(1 + eps)
n > log a / log(1 + eps)
Für alle n > log a / log(1 + eps) gilt also |..| < eps und damit ist die Konvergenz für a > 1 gezeigt.
c) a < 1 => w[n](a) < 1
Ganz ähnlich zu b)
|w[n](a) - 1| = 1 - w[n](a) < eps =>
w[n](a) > 1 - eps
a > (1 - eps)^n
log a > n * log(1 - eps),
da log(1 - eps) < 0 (1 - eps < 1), dreht sich beim Teilen das Kleiner-Zeichen um:
n > log a / log(1 - eps),
d.h. für alle n > .. ist |..| < eps, damit ist die Konvergenz für jedes a gezeigt.
Ich habe fertig!!!
Hast Du noch Fragen?
Viel Glück, Daniel |
Eric Treffel (Treffic)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 11:30: |
|
Hi Daniel,
Wow, danke für die rasche, ausführliche Antwort!
Huh, das muss ich erstmal verdauen!
An sich scheint alles klar zu sein, werd das aber erstmal schriftlich niederlegen um einen besseren Überblick zu kriegen *g*
Einige Sachen sind mir beim lesen auch wieder eingefallen. z.B. Monotoniekriterium und divergenz
Jedenfalls nochmals danke!
Cu Eric |
Thorsten (Thorsten)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 20:48: |
|
Hallo Eric,
zuerst einmal die Definition: eine Folge a_n heißt konvergent gegen a,falls
|a_n - a| -> 0 für n ->8.
Dann nehme ich mal an, dass die Folge a_n := (sin(n)+cos(n))/wurzel(n)
lauten soll,denn die von Dir angegebene besitzt keinen Grenzwert!Wir zeigen,
dass 0 der Grenzwert ist:
|a_n - a| = |(sin(n)+cos(n))/wurzel(n) -
0|<=|sin(n)/wurzel(n)|+|cos(n)/wurzel(n)|<=|1/wurzel(n)|+|1/wurzel(n)| ->0,
für n->8.
wobei die 1.Abschätzung die Dreiecksungleichung ist und die 2. wegen |sin| =
|cos| <=1 folgt.
Gruß
Thorsten |
Thorsten
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Oktober, 2000 - 20:53: |
|
Hallo Eric,
zu Deiner 1. Folge.Man vermutet(z.B. in dem ma´n die ersten Folgenglieder
ausrechnet),dass a_n ->8,d.h. divergiert.
Den Beweis kann man mit dem Cauchy-Kriterium führen:
Eine Folge konvergiert genau dann,wenn |a_n - a_m| ->0 für n,m -> 8.
Hier folgt:
|a_n - a_m| = |wurzel(2*a_n-1) - wurzel(2* a_m-1)| = |wurzel(2)
*(wurzel(a_n-1))-wurzel(a_m-1)|
<= |Wurzel(2)| *|Wurzel(a_n-1) - Wurzel(a_m-1)| ->8 für n,m ->8 ,da Wurzel
streng monoton steigend ist.
Gruß
Thorsten |
Victoria Kaufmann (Vickysternchen)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 13:12: |
|
Hallo zusammen!
Ich hab nämlich ein kleines Problem und zwar muß ich folgende Hausaufgabe bis Montag erledigen und weiß nicht wie, vielleicht könnt ihr mir helfen:
Aufgabe: Die folgende Funktion f ist an der Stelle x0 nicht definiert. Zeige, daß sie für
x->x0 einen Grenzwert hat. Gib den Grenzwert an.
(a) f(x)= {5x-6 für x<2
{x² für x>2 ; x0=2
(b) f(x)= {x²-1 für x<1
{lgx für x>1 ; x0=1
(c) f(x)= {sin x für x< pi/4
{cos x für x> pi/4 ;x0= pi/4
(d) f(x)= {cos x für x<0
{2^x für x>0 ; x0=0
Und ich soll bei der folgenden Aufgabe den
lim f(x) durch Termumformung bestimmen.
x->x0
f(x)= (1-x)/(1-wurzel x) ; x0=1
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. |
Pepe
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Oktober, 2000 - 20:03: |
|
Aufgaben a) bis d) gehen alle nach demselben Schema. ich erläutere es an Aufgabe a)
Zu berechnen sind zwei Grenzwerte, nämlich einmal
limx -> 2(5x-6)=4.
Hier näherst Du Dich der Stelle x=2 aus der Richtung der negativen x-Achse ("von links"): Zum anderen brauchst Du
limx -> 2(x2=4
aus der Richtung der positiven x-Achse("von rechts)
Der Witz von diesen Aufgaben ist zu sehen, daß diese Funktionen trotz einem undefinierten Punkt denselben Grenzwert von beiden Richtungen aus haben.Analog löst Du b) bis d)
Die letze Aufgabe wird so gelöst:
Der Limes ist hier nicht so trivial zu berechnen. Einfach 1 einsetzen führt zu 0/0. Du kannst aber so umformen:
(1-x)/(1-wurzel x)=(1+wurzel x)(1-wurzel x)/(1-wurzel x)=(1+wurzel x)
Hier wurden binomische Formeln verwendet.
Daraus ergibt sich der Limes:
limx -> 1(1+wurzel x) = 2 |
Franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 21:47: |
|
hi leute! bräuchte eure hilfe!
also:
1) lim (n->unendl.) von (Wurzel ((n+3)/(n+5)) + Wurzel ((n+1)/(n+5)))
2) zeige dass gilt:
Wurzel (n+5)*(Wurzel (n+3) - Wurzel (n+1)) -> 1
3) zeige dass
pi^2/3 - 4 (cos x/1^2 - cos 2x/2^2 + cos 3x/3^2 - ...) für alle x ist Element aus R konvergiert, ist das eine Potenzreihe
bitte um rasche Antwort
Danke Franz |
Alexander
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. September, 2001 - 07:49: |
|
1) in den Wurzeln kann für n gegen unendlich die addition der Zahlen vernachlässigt werden, wenn nicht weiter multipliziert wird, win in 2., d.h (n+5)/(n+3) wird n/n = 1 ==> wurzel 1 + wurzel 1 = 2
2)ausmultiplizieren: Wurzel (n^2+8n+15) - Wurzel (n^2+6n+5) quadr. Ergänzung: Wurzel ((n+4)^2-1) - Wurzel ((n+3)^2-1) für n gegen unendlich ist die 1 unter der wurzel irrelevant: Wurzel ((n+4)^2) - Wurzel ((n+3)^2) = n+4 - (n+3) = n+4-n-3=1
3) x durch eine immer größere Zahl geht gegen Null. cos 0 = 1. Wenn zu einer Zahl unendlich viele Einsen addiert und unendlich viele Einsen subtrahiert werden, so bleibt das Ergebnis konstant. (Das wäre mein Ansatz, entwickel Ihn weiter, ich muss wieder zur Arbeit)
Viel Erfolg
Alexander |
|
