| Autor |
Beitrag |
    
nothinghill
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 17:10: | 
|
hi
die aufgabe lautet:
die zahlen 1,3,6,10,15... sind dreieckszahlen
a)erlätern sie ihre entstehung
b)bilden sie die folge ihrer differenzen und zeige sie dann, dass diese differ. eine arithmetische folge ist
c)zeigen sie durch die vollständige induktion, dass die n-te dreieckzahl mit der formel a(n)=1/2 n(n+1) zu berechnen ist
d)die summe von a(n) und a(n+1) soll quadratisch sein(durch direk. Beweis) a(n) + a(n+1)=(n+1)^2
e)beweisen sie mit vollständiger induktion : die summe der n ersten dreieckszahlen ist s(n)=[n(n+1)(n+2)]/6
ich hoffe dass mir jemand helfen kann |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 23:52: |
|
Hi nothinghill!
Ein kleine graphische Einstimmung auf Dreieckszahlen, und damit sowas wie eine Antwort auf die erste Aufgabe.
1.Dreieckszahl 1
.....O.....
2.Dreieckszahl 3
.....O.....
....O.O....
3.Dreieckszahl 6
.....O.....
....O.O....
...O.O.O...
4.Dreieckszahl 10
.....O.....
....O.O....
...O.O.O...
..O.O.O.O..
5.Dreieckszahl 15
.....O.....
....O.O....
...O.O.O...
..O.O.O.O..
.O.O.O.O.O.
6.Dreieckszahl 21
.....O.....
....O.O....
...O.O.O...
..O.O.O.O..
.O.O.O.O.O.
O.O.O.O.O.O
Morgen vielleicht mehr.
Ciao
Cosine |
nothinghill
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 05:25: |
|
danke so weit klar , aber wie geht´s weiter??;-) |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 10:52: |
|
Hi nothinghill
b)
Nachdem Cosine die Entstehung geklaert hat, ist klar, dass die DIfferenzenfolge die Folge der natuerlichen Zahlen ist. Soweit ich mich erinnere, ist eine arithmetische Folge gegeben durch an=a0+k*n. Nimmt man noch die 0 zu den Dreieckszahlen dazu, und betrachtet 1-0, als die erste Differenz, so ist das gerade an=0+1*n=n.
c)
Die Formel ist vielleicht etwas besser bekannt als die Formel fuer die Summe der ersten n natuerlichen Zahlen, was ja dasselbe ist:
Induktionsvoraussetzung: n=1: 1/2*1*2=1 OK.
Induktionsschluss:
an=an-1+n
nach Induktionsvoraussetzung
=1/2*(n-1)n+n=1/2*[(n-1)n+2n]=1/2*n(n-1+2)=1/2*n(n+1) q.e.d.
d)
an+an+1 ist nach obiger Formel:
=1/2*n(n+1)+1/2(n+1)(n+2)=1/2(n+1)(n+n+2)=1/2(n+1)(2n+2)=1/2(n+1)2(n+1)=(n+1)².
Noch eine schoene anschauliche Begruendung zum letzten Satz:
Ordnet man eine Dreieckszahl linksbuendig an, sieht das so aus:
o
oo
ooo
oooo
ooooo
oooooo
An diesem Bild sieht man, dass zu einem Quadrat genau eine um einen Index kleinere Dreieckszahl fehlt.
viele Gruesse
SpockGeiger |
|
