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Beitrag |
    
florina
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 15:52: | 
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Ich bin mir sicher das ihr mir helfen könnt, könnt ihr doch oder??????? *g* BITTE!!
Kurvendiskusionen:
Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendestellen: f(x)=x^3-6x^2+9x
Bestimmung von Funktionstermen aus vorgegebenen Eigenschaften:
a) Berechnen Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Punkt P(0/2) die Steigung 4 hat und an den Stellen x=(-2) und x=2 horizontale Tangenten besitzt.
b) Schreiben Sie nur die Bedingungen auf für eine Funktion, deren Graph durch den Ursprung geht und in P(1/1) einen Sattelpunkt hat.
Extremwertaufgaben:
Ein Kirchenfenster besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Es soll eine bestimmte Menge Licht durchlassen und mit möglichst wenig Holz für den äußeren Rahmengebaut werden. Der Flächeninhalt des Fensters ist fest vorgegeben: A=(2pie). Der Umfang soll minimal werden. Berechznen Sie die Höhe und Breite des Fensters.
Kurvenscharen:
Durch fk(x)=x^3-kx^3 ist eine Funktion Funktionenschar gegeben.
a) Berechnen Sie die Wendepunkte Wk dieser Funktionenschar.
b) Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf der Parabel mit der Gleichung y= (2/3)*x^2 liegen.
Bitte bitte, ich weiß das das verschiedene Aufgaben zu verschiedenen Theman sind, doch ich schreibe Mittwoch die Mathe-Klausur nach, und ich brauche dringend wenigstens eine Vorlage, an die ich mich wenigstens noch die letzten 2 Tage orientieren und vergleichen kann! Könnt ihr mir weiterhelfen??? DANKE!!! CU*FLO* florina |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 17:48: |
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Siehe auch die Frage
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/5624.html?969893382 |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 19:23: |
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Ich arbeite dran. |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 20:00: |
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Hi Florina!
Dann will ich mal die Aufgaben durchrechnen. Ich werde dabei versuchen, die grundsätzlichen Vorgehensweisen verständlich zu machen, da es dir sonst ziemlich wenig nützen würde. Allerdings solltest du dir nicht angewöhnen, immer Musterlösungen bei zahlreich zu "bestellen" - fang lieber schon mal länger vor einer Klausur an zu üben, stelle gezielte Fragen ins Forum und arbeite gegebenenfalls auch mit einem "Lernhilfe"-Buch (es gibt da sehr gute, frag einfach mal im Buchhandel nach).
KURVENDISKUSSION
Die Reihenfolge der Berechnungen bei einer vollständigen Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion) ist bei der keineswegs festgelegt, ich führe hier aber einen Weg auf, der mir schlüssig erscheint und mit dem du immer richtig liegen solltest (es sei denn, dein lehrer macht euch bestimmte vorgaben zur reihenfolge).
f(x) = x³ - 6x² + 9x
Schritt 1: Zunächst sollte man den Definitionsbereich der Funktion angeben (solange ihr nur mit ganzrationelen Funktionen arbeitet, umfaßt dieser zwar immer alle reellen Zahlen, aber es macht zumindest einen guten Eindruck, die Definitionsmenge immer anzugeben).
D = R
Schritt 2: Du bestimmst die ersten drei Ableitungen der Ausgangsfunktion. Du mußt dazu die Faktorregel, die Potenzregel und die Summenregel im Kopf haben (ich nehme mal an, daß ihr Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel sowie die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen noch nicht besprochen habt, sonst mußt du die natürlich auch können).
f'(x) = 3x² - 12x + 9
f''(x) = 6x - 12
f'''(x) = 6
Schritt 3: Gib die eventuelle Symmetrie an. Setze dafür (-x) in die Funktionsgleichung ein. Wenn f(-x) = f(x) [bzw. wenn die Funktionsgleichung nur gerade Exponenten hat, wobei du beachten mußt, daß a = ax^0, was ein gerader Exponent ist], dann ist der Graph symmetrisch zur y-Achse. Wenn f(-x) = -f(x) [bzw. wenn nur ungerade Exponenten vorliegen], dann ist er punktsymmetrisch zum Ursprung. Ansonsten liegt keine Syymetrie vor.
f(-x) = -x³ - 6x² - 9x
f(-x) ¹ f(x) UND f(-x) ¹ -f(x)
Þ keine Symmetrie
oder: Keine Symmetrie, da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthalten sind
Schritt 4: Nun bestimmst du die Schnittpunkte mit der x-Ache. Dafür setzt du f(x) = 0 und löst dann nach x auf. Du kannst dafür die pq-Formel, die abc-Formel, Polynomdivision, Ausklammern und Substitution verwenden, je nach Aufgabe und je nachdem, womit du am besten klarkommst.
Bedingung für Nullstelle: f(x) = 0
x³ - 6x² + 9x = 0 |ausklammern
x(x² - 6x + 9) = 0
x = 0 ODER x² - 6x + 9 = 0
pq-Formel mit p = -6, q = 9
x = 3 ± Ö(9-9)
x1 = 0
x2 = 3
N1(0/0)
N2(3/0)
Schritt 5: Nun werden die Extrempunkte bestimmt. Notwendige Bedingung hierfür ist, daß die Tangentensteigung (also die erste Ableitung) gleich null ist. Als hinreichende Bedingung muß die Krümmung des Graphen (zweite Ableitung) ungleich null sein. Du prüfst zunächst die notwendige Bedingung, indem du f'(x) = 0 setzt und wie bei Schritt 4 nach x auflöst. Dann setzt du deine Werte in die zweite Ableitung ein, um die hinreichende Bedingung zu checken (ist sie nicht erfüllt, so hast du einen Sattelpunkt entdeckt). Vergiss nicht, am Ende noch Funktionswerte für deine x-Werte auszurechnen, indem du sie in die Funktionsgleichung einsetzt. Übrigens mußt du auch noch bestimmen, ob ein Extremum ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Wenn f''(x) < 0, dann ist es ein Maximum, wenn f''(x) > 0, dann ist dieses lokale Extremum ein Minimum.
Notwendige Bedingung für Extrema: f'(x) = 0
3x² - 12x + 9 = 0 |:3
x² - 4x + 3 = 0
pq-Formel mit p = -4, q = 3
x = 2 ± Ö(4-3)
x = 2 ± 1
x1 = 3
x2 = 1
Hinreichende Bedingung: f''(x) < 0 ODER f''(x) > 0
f''(x1) = 6 Þ Tiefpunkt
f''(x2) = -6 Þ Hochpunkt
f(x1) = 0
f(x1) = 4
T1(3/0)
N2(1/4)
Schritt 6: Damit wären wir bei den Wendepunkten angelangt. Hier keine großen Erklärungen, es geht so ähnlich wie bei den Extrema, nur mit anderen Anbleitungen.
Notwendige Bedingung: f''(x) = 0
6x - 12 = 0 |+12
6x = 12 |:6
x = 2
Hinreichende Bedingung: f'''(x) ¹ 0
f'''(2) = 6
f(2) = 2
W(2/2)
Schritt 7: Nun interessiert uns noch die Asymptotik, d. h. die Frage, wie sich y verhält, wenn x sich den Grenzen seines Definitionsbereichs annähert, bei ganzrationalen Funktionen generell +¥ und -¥. Dafür betrachtest du einfach das x mit dem höchsten Exponenten. Hat es ein posotives Vorzeichen, läuft der Graph gegen unendlich, ist das Vorzeichen negativ, läuft er gegen minus unendlich.
lim x³ - 6x² + 9x = -¥
x ® +¥
lim x³ - 6x² + 9x = -¥
x ® -¥
Schritt 7: Nachdem du alle "interessanten" Punkte des Graphen, seine Symmetrien und sein Grenzwertverhalten bestimmt hast, mußt du nun nur noch eine Skizze anfertigen. In diesem Fall sieht sie so aus:
OK, das war die erste Aufgabe. Ausführlich genug? Ja! Die weiteren Aufgaben folgen... |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 20:01: |
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Da fehlt meine schöne Grafik. Ich versuch's nochmal:
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Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 20:04: |
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Und nochmal:
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Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 20:43: |
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So. Jetzt folgt die Bestimmung von Funktionstermen aus vorgegebenen Eigenschaften.
STECKBRIEFAUFGABE
a)
Schritt 1: Formuliere die allgemeine Funktionsgleichung, d. h. du stellst ausgehend von dem Grad der Funktion (der gegeben sein sollte) eine Gleichung mit Variablen auf. Bilde auch die ersten beiden allgemeinen Ableitungen, mindestens eine davon wirst du brauchen. In deinem Beispiel lauten Gleichung und Ableitungen:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Der höchste Exponent ist 3, denn die Funktion ist dritten Grades. Beachte: Bei symmetrischen Graphen können generell alle ungeraden (punktsymmetrisch) oder geraden (achsensymmetrisch) Exponenten herausfallen, wenn die allgemeine Gleichung aufgetellt wird. WÄRE unsere Beispielfunktion punktsymmetrisch, so würde die allgemeine Gleichung lauten: ax³ + cx. Dies ist wichtig, da man sonst in vielen Fällen ein unterbestimmtes Gleichungssystem erhält (siehe Schritt 2).
Schritt 2: Ausgehend von den im Aufgabentext genannten Eigenschaften, werden nun Gleichungen gebildet, indem alle bekannten Werte in die allgemeine Gleichung aus Schritt 1 eingesetzt werden. Diese Gleichungen nennt man die Bedingungen für die Funktion. Sie bilden ein lineares Gleichungssystem, das mit Hilfe von Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additionsverfahren oder durch den Gauss'schen Algorithmus gelöst werden kann. Man braucht immer mindestens so viele Bedingungen, wie man Variablen (im Beispiel 4: a, b, c, d) hat. Sonst hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung und ist unterbestimmt.
1. Bedingung: f(0) = 2 [der Graph läuft durch P(0/2)]
2. Bedingung: f'(0) = 4 [an der Stelle 0 beträgt die Tangentensteigung 4]
3. Bedingung: f'(-2) = 0 [an den Stellen 2 und -2
4. Bedingung: f'(2) = 0 ist die Tangentensteigung 0]
Schritt 3: Forme die Bedingungen um und löse das Gleichungssystem. Fange beim Umformen mit Gleichungen wie f(0) = y oder f'(0) = y oder f''(0) = y an, denn damit kannst du meistens Variablen (nämlich die "x-losen" Terme) direkt bestimmen, da ja alle Terme, die x enthalten, dann 0 werden.
f(0) = 2
d = 2
f'(0) = 4
c = 4
f'(-2) = 0
12a - 4b + 4 = 0
f'(2) = 0
12a + 4b + 4 = 0
Es bleibt folgendes Gleichungssystem mit zwei Variablen übrig:
I 12a - 4b = -4
II 12a + 4b = -4
Wenn du dieses löst (II nach a auflösen, in I einsetzen - dann I nach b auflösen, in II einsetzen), ergibt sich:
a = -1/3
b = 0
Schritt 4: Du mußt jetzt nur noch die Werte, die du für die Variablen erhalten hast, in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen:
f(x) = (-1/3)x + 4x + 2
b)
Hier müssen nur Bedingungen aufgestellt werden. Das ist ganz einfach:
1. Bedingung: f(0) = 0 [der Graph läuft durch den Ursprung]
1. Bedingung: f(1) = 1 [der Graph läuft durch P(1/1)]
1. Bedingung: f'(1) = 0 [an der Stelle 1
1. Bedingung: f''(1) = 0 hat der Graph einen Sattelpunkt] |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 20:49: |
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Korrektur zur Kurvendiskussion!
Es muß bei der Asymptotik natürlich heißen:
lim x³ - 6x² + 9x = +¥
x ® +¥
Übrigens vergaß ich zu erwähnen, daß manche Lehrer eventuell nicht alle Schritte bei der Kurvendiskussion verlangen (z. B. kann u. U. die Asymptotik wegfallen). |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 16:44: |
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Hi Florina!
Was soll den bei der Extremwertaufgabe A=2pie (a=2p?) heißen? Als Flächeninhaltsangabe sagt mir das nichts... |
Johnmaynard (Johnmaynard)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 16:59: |
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Hi Leute!
Kann sich mal bitte jemand anders die Funktionschar-Aufgabe vornehmen? Ich komme da irgendwie nur auf einen Wendepunkt (0/0). [Dann würden allerdings tatsächlich "alle" Wendepunkte auf der Parabel y = (2/3)x² liegen...] |
Timo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. November, 2000 - 20:16: |
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Hallo,
ich schreibe demnächst eine Mathe Klausur und unsere Lehrerin hat uns Übungsaufgaben gegeben !
Habe den ganzen Tag schon wie ein Wilder gerechnet, komme jetzt aber bei folgender Aufgabenstellung nicht weiter!
Gegeben ist die Funktion f(x) = x hoch 4 + kx hoch 3. Sie beschreibt eine Kurvenschar. Zeigen Sie die rechnerische Bestimmung lokaler Extrempunkte. (Hinweis: Der Parameter k wird auch in der Lösung eine Variable sein. )
Bitte um Hilfe !
MfG
Timo |
lilli
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 14:38: |
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Hilfe!
Wie lautet die Ableitung von lnx/x ? |
Kai
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 22:30: |
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Das geht mit der Quotientenregel.
Schreib Deine Lösung einfach hier rein oder frage weiter, wenn Du Schwierigkeiten hast.
Kai |
Timo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. November, 2000 - 21:44: |
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Schade, dass mir keiner geholfen hat! Morgen schreib ich die Arbeit !
MfG
Timo |
Lutz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. November, 2000 - 19:08: |
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Timo,
am besten werden Fragen immer dann gefunden, wenn man sie als "neue Beiträge" aufmacht und nicht an bereits erledigte Fragen hintendranhängt.
Das nur als kleiner Tipp für das nächstemal.
Hoffentlich hat es mit der Arbeit trotzdem gut geklappt!
Lutz |
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