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CON (Globalkiller)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 14:15: | 
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Gegeben sei:
Strecke der Länge x
Strecke der Länge 1
Das Problem:
KONSTRUIERE I.Die Strecke y2 der Länge x^1/2
II.Die Strecke y3 der Länge x^1/3
Fall I. ist einfach:
Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks mit
HYP=x+1 und KAT1=x-1 somit ist KAT2=2*x^1/2
Fall II. :
Ich habe keine Ahnung. Es müsste allerdings in
R^3 gehen. Bitte helft mir.
(PS ein kleiner anreiz: mit der lösung dieses problems könnte man auch das winkeldreiteilungsproblem lösen.) |
Schumi
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 13:54: |
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He Du Nase.Wassollndasfürnanreizsein?!?!?!
Das Winkeldreiteilungsproblem ist Geometrisch bewiesenermaßen nicht lösbar. |
CON (Globalkiller)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 14:57: |
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Hi,
"geometrisch" vielleicht nicht aber in R^3 könnte es möglich sein und dafür brauch ich eben die
Konstruktion der 3ten Wurzel einer beliebigen Strecke!! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 21:00: |
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Glaube nicht, dass das im R³ möglich ist.
Aber: Wie kannst du einen Winkel dreiteilen, wenn du die dritte Wurzel ziehen könntest? |
CON (Globalkiller)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 16:55: |
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Hallo,
Da ich nicht weiß wie man hier bilder einfügt werde ich versuchen meine überlegungen zu erklären:
man stelle sich einen kreis mir radius r=1 vor,
dann zwei radien die den dreizuteilenden winkel (kleiner 180°) aufspannen, dann stelle man sich zwei weitere radien vor, die den winkel dreiteilen (als hätten wir beiteits das ergebnis), jetzt erhält man zwei Sehnen verschiedener längen: erstens die sehne, die sich über den dreizuteilenden (grösseren) winkel aufspannt (nennen wir sie y), zweitens die sehne, die sich über einen der zu konztruierenden winkel
(kleineren) aufspannt (nennen wir sie x).
jetzt benätigt man noch das lot vom mittelpunkt des kreises auf x (hier h1) und das lot auf y (hier h2).
Um jetzt x konstruieren zu können benötigt man die beziehung zwischen x und y, also eine gleichung, in der nur noch diese beiden als variablen vorkommen. Hier eine sich eine eignende Flächengleichung:
3*(kleine dreiecke über x)=(grosses dreieck über y) + Trapez
=> 3*(x*h1/2)=((y*h2)/2)+((h1-h2)(x+y)/2)
hier stören h1 und h2:
((x/2)^2)+h1^2=r^2=1 ;
((y/2)^2)+h2^2=r^2=1 ;
h1=(1-((x^2)/4))^1/2 ;
h2=(1-((y^2)/4))^1/2 ;
nun kann man h1 und h2 in der flächengleichung durch x und y ersetzten dann nach x auflösen (was schwieriger ist als es den anschein hat).
leider habe ich die endgleichung und deren berechnung verloren doch in der endgleichung benötigt man die 3TE WURZEL einer beliebigen strecke.
(ich entschuldige mich für alle mir unterlaufenen fehler, seien es denk oder tippfehler. und danke für weitere bemühungen).
gk |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. September, 2000 - 21:17: |
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Hi GK,
danke für die gute Erklärung.
Wenn du h1 und h2 einsetzt, erhältst du für x die Gleichung
x³ - x + y = 0
Mal Niels und Dirk fragen, wie es weitergeht. |
ari
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 08:33: |
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Hi Zaph,
wenn man die dritte Wurzel ziehen kann, kann man tatsächlich Winkel dreiteilen:
cos^3 (alpha/3) = 1/4 * [3*cos (alpha/3) + cos (alpha)]
Kann man links die Wurzel ziehen, so erhält man aus bekanntem cos (alpha) dann den Wert von cos (alpha/3)
Ciao. |
CON (Globalkiller)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 15:23: |
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Hallo Zaph und ari,
danke für eure bisherigen bemühungen, doch bedeutet das jetzt, dass eine 3te wurzel konstruktion überhaupt nicht möglich ist oder dass sie nur in R^2 nicht möglich ist? danke für eure weiteren bemühungen
gk |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 18:00: |
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Hi Ari,
deine Argumentation hat einen Haken: Rechts in der Gleichung steht doch auch cos(a/3) !
Aber wenn man die Gleichung
x³ = 3x/4 + a
für beliebiges a aus [-0,25 ; 0,25] unter Verwendung dritter reeller Wurzeln nach x auflösen könnte, dann hättest du Recht. (Vorausgesetzt, dass deine Formel stimmt; habe ich jetzt nicht nachgeprüft.) |
Goldfinger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 18:45: |
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Hi Zaph,
leider kann man die Gleichung
x³ = 3x/4 + a
bzw.
x³ - (3/4)x - a = 0
genau dann NICHT mit Kubikwurzeln aufloesen!
(ausser fuer a = -1/4 oder a = +1/4).
Es tritt dann naemlich der "Casus Irreducibilis"
bei der Cardanischen Formel ein, und es gibt dann
drei verschiedene reelle Loesungen fuer x,
die sich aber nur trigonometrisch berechnen lassen.
Man kann das auch mit Kurvendiskussion beweisen.
Gruss,
Dirk |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. September, 2000 - 23:45: |
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Hi Dirk und Globalkiller,
und bei x³ - x + y = 0 tritt dann wohl auch der Casus irreducibilis in Kraft ... ?
Das habe ich fast erwartet. Mittlerweile bin ich zu der inneren Überzeugung gelangt, dass die dritte Wurzel zur Dreiteilung des Winkels nicht ausreicht. Wenn doch, dann wäre wohl auch der "Casus irreducibilis" reduzibel.
Globalkiller, wäre erstaunt und erfreut, wenn du mich vom Gegenteil überzeugen könntest.
Noch eine Frage: Wie willst du im R³ konstruieren? Was für Werkzeuge hast du? Im R² sind es Zirkel und Lineal. Aber im R³ kannst du ja schlecht den Zirkel verwenden ... |
Xenon
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. September, 2000 - 12:14: |
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Soweit sind wir noch nicht, bisher überlegen wir erst ob es eine Möglichkeit gäbe, solch eine Strecke mit eben der Länge 3.te Wurzel aus x in einem Körper zu erzeugen! |
CON (Globalkiller)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. September, 2000 - 11:42: |
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Hallo,
ich dachte man könnte konstruktionswerkzeuge nichteuklidscher räume nehmen(wenn es denn solche gibt). z.B.: gibt es werkzeuge die einem das konstuieren auf einer kugeloberfläche ermöglichen.
gk |
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