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Beitrag |
    
Raffnix
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 09:26: | 
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Hi, ich will nun ein paar aufgaben Lösen, und diese mit Lösung hier hinschreiben. Ich möchte gerne, das ihr euch die Lösung anschaut, und mir schreibt, ob diese richtig sind weil ich sonst nirgendwo nachfragen kann:
1) Ich muss eine Ableitung von diesen Funktionen Bestimmen:
a) f(x) = (x-2)²
Lösung: => f(x)=x²-4x+4 (Binomische Formel?)
=> f'(x)= 2x-4 (Richtig?)
b) f(x) = (x²+3x-27)/2x
Lösung: => f'(x) = (u'*v - v'* u)/ v² (Quotientenregel?)
=> u = x²+3x-27 --> u' = 2x*3
=> v = 2x --> v' = 2
=> f'(x)= [(2x*3)*2x-2*(x²*3x-2)]/4x²
=> f'(x)= (4x²*6x-2x²+6x-4)/4x²
=> f'(x)= (24x³-2x²+6x-4)/4x²
(Richtig?),(Gibt es eine möglichkeit, die Ableitung weiter zu vereinfachen?)
c) f(x)= (x²-2x+3)* (Wurzel aus)x
! Hier habe ich probleme die Klammer aufzulösen!
Was muss ich tuen, und welche Regel setze ich
hier ein?
Falls cih was falsch gemacht habe, informiert mich bitte, danke für eure hilfe! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 11:43: |
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1a) richtig!
1b) Du hast ein paar Mal "*" statt "+" geschrieben und dann damit weitergerchnet. Außerdem ein Vorzeichenfehler.
f '(x) = [(2x + 3)*2x - 2*(x² + 3x - 2)]/(4x²)
=> f '(x) = (4x² + 6x - 2x² - 6x + 4)/(4x²)
=> f '(x) = (2x² + 4)/(4x²)
=> f '(x) = (x² + 2)/(2x²)
=> f '(x) = 1/2 + 1/x²
1c) Hier muss die Produktregel angewandt werden:
(uv)' = u'v + uv'
mit u = x² - 2x + 3, v = Öx |
Raffnix
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 12:45: |
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Hey Zaph, danke (ich muss diese flüchtigkeitsfehler irgendwie vermeiden!)
zu 1c, könnte man die ableitung auch so lösen:
also:
f(x)=(x²-2x+3)* (wurzel aus)x
=> f(x)=(x²-2x+3)*x^1/2 (Potenzregel)
Dann klammer ausmultiplizieren und Ableitung machen???
f(x)= x^2,5-2*x^1,5+3*x^0,5
somit: f'(x)=2,5*x^1,5-3,5*x^0,5+1,5*x^-0,5
Ist dies richtig? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. September, 2000 - 17:23: |
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Hi Raffnix, du raffst ja doch etwas. Deine Lösung ist sogar einfacher als mein Vorschlag.
Du kannst jetzt noch x1/2 ausklammern:
f '(x) = (5x/2 - 7/2 + 3/(2x)) Öx |
Raffnix
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 11:26: |
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Hey Zapf, danke, aber jetzt kommt die härteste Nuss, ich hoffe du kannst mir weiterhelfen:
es ist ein Beweis für die Produktregel:
(Ich schreibe einfach mal das auf, was im Buch steht!)
es gilt: f'(x)=u'(x)*v(x)+ u(x)*v'(x) zu Beweisen
Wir betrachten eine funktion f mit f(x) = u(x)*v(x) , wobei u und v differenzierbar sind, also
lim h->0 [u(x+h)-u(x)]/h und
lim h->0 [v(x+h)-v(x)]/h existiern.
Die funktion f hat den Differenzenquotionten
[f(x+h)-f(x)]/h = [u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)]/h
Wir drücken ihn durch die Differenzenquotienten von u und v aus:
[f(x+h)-f(x)]/h
={[u(x+h)-u(x)]*v(x+h)+u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}/h
(interessant, wenn man es verstehen würde, ich tu's nicht! )
Ich glaube jetzt kommt sowas wie eine vereinfachung von dem was da oben steht(was immer es sein soll)
={[u(x+h)-u(x)]*v(x+h)+u(x)*[v(x+h)-v(x)]}/h
={[u(x+h)-u(x)]/h}*v(x+h)+u(x)*{[v(x+h)-v
*(x)]/h}
Da die Funktionen u und v differenzierbar sind, folgt füt h->0
[u(x+h)-u(x)]/h ->u'(x)
v(x+h) ->v(x)
[v(x+h)-v(x)]/h ->v'(x)
ich zeitiere das Buch: "Damit haben wir den Satz bewiesen."
Ich weis, es ist schwer da durchzublicken, aber es würde mich freuen, wenn ich wenigstens ein Teil dafon verstehen würde!
z.b: was bedeutet differenzierbar?
woher kommt plötzlich die Variable h her?
und warum ist sie da?
Bitte erklärt mir den Beweis |
Raffnix
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 12:26: |
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Achja, ich sehe hier, das ich noch was können muss: also irgendwie eine Produktregel mit drei Faktoren beweisen!
f(x)=u(x)*v(x)*w(x)
Ich schätze, das wenn ich den
Beweis mit zwei faktoren verstehe (siehe oben!),
verstehe ich auch den mit drei, glaube ich. |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. September, 2000 - 20:05: |
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Hi Raffnix,
"differenzierbar" bedeutet, dass die Ableitung existiert. Eine Funktion f(x) ist genau dann differenzierbar, wenn der Grenzwert
limh -> 0[f(x+h) - f(x)]/h
existiert. In diesem Fall ist f '(x) gleich dem Grenzwert.
Kommt dir das bekannt vor, oder hörst du das zum ersten Mal? Falls dir das absolut wie böhmische Dörfer vorkommt, glaube ich nicht, dass du den Beweis der Produktregel für die Klausur wissen musst. Falls du aber jetzt ein Aga-Erlebnis hast, versuche ich dir den Beweis der Produktregel zu erklären. Wann ist denn deine Klausur?
Einfacher ist es hingegen, aus der Produktregel eine Regel für die Ableitung von
f(x) = u(x)*v(x)*w(x)
zu finden. Dazu musst du glücklicherweise nicht den Beweis der Produktregel verstanden haben.
Setze
(1) a(x) := u(x)*v(x).
Dann ist f(x) = a(x)*w(x). Nach der Produktregel ist
(2) f '(x) = a'(x)*w(x) + a(x)*w'(x)
und
(3) a'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)
Wenn du nun (1) und (3) in (2) einsetzt, erhältst du
f '(x) = [u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)}*w(x) + u(x)*v(x)*w'(x)
= u'(x)*v(x)*w(x) + u(x)*v'(x)*w(x) + u(x)*v(x)*w'(x) |
Raffnix
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 12:40: |
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Hi!
O.K.! Sie ist Defirinzierbar, verstanden, dann steht praktisch für f'(x) (f(x+h)-f(x))/h und für
u'(x) und v'(x) halt das gleiche nur mut u und v, kein problem! Nun steht da aber volgendes:
"Wir drücken dies durch den Differenzquotienten aus u und v aus" was heist das? Wie komme ich von [f(x+h)-f(x)]/h = [u(x+h)*v(x+h)-u(x)*v(x)]/h
nach
[f(x+h)-f(x)]/h =
{[u(x+h)-u(x)]*v(x+h)+u(x)*v(x+h)-u(x)*v(x)}/h ???
Welche Rechenschritte werden hier angewand?
Achja, die Klausur ist schon geschrieben, aber das hier oben interessiert mich trotzdem! |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 01:11: |
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Hi Raffnix,
multipliziere doch einfach einmal die Klammern im Zähler der unteren Gleichung aus, und fasse die Terme zusammen. Vergleiche dann mit der oberen Gleichung.
Z. |
sandra
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 07:43: |
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Kann mir jemand mal erklären, wie man die Produktregel herleitet??? Ist voll dringend!!! Brauch das für ne Facharbeit und hab null Ahnung wie das geht... |
Fstrichvonx (Fstrichvonx)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 10. Mai, 2001 - 11:41: |
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hi sandra,
also
lim (h->0) ( (f(x) - f(x+h))/h) =f`(x)
sei f(x)=u(x)v(x)
einsetzen:
lim (h->0) ( (u(x)v(x)-u(x+h)v(x+h))/h)
NR.:
(u(x)v(x)-u(x+h)v(x+h))/h=
(u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)-u(x+h)v(x+h))/h=
u(x) (v(x)-v(x+h))/h + v(x+h) (u(x)-u(x+h))/h
einsetzen:
lim (h->0) u(x) (v(x)-v(x+h))/h + v(x+h) (u(x)-u(x+h))/h
alle vier grenzwerte existieren, wenn u und v diffbar sind also:
u(x) * lim (h->0)(v(x)-v(x+h))/h + lim (h->0) v(x+h) * lim (h->0) (u(x)-u(x+h))/h=
u*v`+v*u`
so muesste es gehen, wenn ich mich recht erinnere |
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