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Matthias
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 1999 - 08:21: | 
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Also die Aufgabe lautet: Ist die Funktion
y=x^2*sin(1/x) für x ungleich 0; y=0 für x=0
im Punkt x=0 differenzierbar? Wenn ja, welchen Wert besitzt y'(0)?
Hinweis: Untersuchen Sie den Differentialquotienten! |
Andreas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 1999 - 17:12: |
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Differenzenquotient an der Stelle x=0:
[f(x+h)-f(x)]/h = [f(h)-f(0)]/h = f(h)/h = [h^2*sin(1/h)]/h = h*sin(1/h)
Wenn nun h gegen 0 geht, dann bleibt sin(1/h) irgendwie zwischen -1 und 1 und somit geht h*sin(1/h) gegen 0. D.h. f '(0)=0.
Die Sache ist bis hierhin nicht sonderlich interessant. Spannend wird es erst, wenn man auch f '(x) für x ungleich 0 betrachtet. Dann ist nämlich f '(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x). (Kriegst du das auch heraus?) Für x gegen 0 geht jetzt der erste Summand gegen 0, der zweite Summand oszilliert aber wie verrückt zwischen -1 und 1, d.h. ein Grenzwert existiert hier nicht.
Zusammenfassend bedeutet dies, dass deine Funktion zwar überall differenzierbar ist, dass die Ableitung an der Stelle x=0 aber nicht stetig ist. Dies ist ein so unglaubliches Verhalten, dass man diese Funktion ohne weiteres in die Gallerie der Freaks und Monster einreihen kann. Ich bin begeistert und stelle bei Interesse den ein oder anderen Punkt auch gerne noch einmal etwas ausführlicher dar.
Andreas |
Katrin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. April, 2000 - 11:26: |
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Was ist ein Differenzquotient genau und wie kann ich es am besten allgemein und anschaulich erklären???? Ich brauch das unbedingt für meine Vorbereitung aufs Mündliche.
Grüsse Katrin |
Pi*Daumen
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. April, 2000 - 23:46: |
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Hi Katrin,
schau mal den Link, da sind ne Menge Beispiele. Wenn Du danach noch Schwierigkeiten hast, melde Dich wieder.
ZahlReich-Suche "Differenzenquotient"
Ciao,
Pi*Daumen |
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