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Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 22:10: | 
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Hallo!
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
DGL f''(x)+k^2*f(x)=2k mit k ungleich 0
a)Geben sie die allgemeine Lösung der DGL an.
b)Für welche Eigenwerte k gibt es Lösungen mit den Randbedingungen (L > 0)
f(0)=0, f'(0)=0 und f''(L)=0
c)Wie lauten die Lösungen zu den jeweils beiden kleinsten positiven Eigenwerten? Geben sie die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte an.
Ich habe als allgemeine Lösung y=C1+C2*e^-k^2 +2
heraus. Kann das sein?
Schon mal vielen Dank, Martin. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 08:22: |
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Hi Martin,
Zunächst soll Teilaufgabe a) gelöst werden
Wie üblich, löst man zuerst die homogene Gleichung
y '' + k ^ 2 * y = 0
Die charakteristische Gleichung lautet:
Lambda ^ 2 + k ^ 2 = 0 ; die Lösungen sind imaginär:
Lambda 1 = i * k , lamda 2 = - i * k.
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist somit
y = c1 * cos (kx) + c2 * sin (kx) ; c1 , c2 const.
Für die Gewinnung einer partikulären Lösung der inhomogenen
Gleichung taugt der Ansatz:
y = a (constans);
eingesetzt in die inhomogene Gleichung ergibt die Relation:
0 + k ^ 2 * a = 2 * k ; daraus a = 2 / k
Diese partikuläre Lösung y = 2 / k wird zur obigen Lösung der
Homogenen Gleichung addiert;
das Ergebnis ist die gesuchte allgemeine Lösung in Teilaufg.a)
y = c1 * cos (kx) + c2 * sin (kx) + 2 / k
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 11:37: |
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Hi Martin,
Nun ist die Teilaufgabe b) an der Reihe.
y (0) = 0 hat c1 = - 2 / k zur Folge.
Damit wird die erste Ableitung zu:
y ' (x) = 2 / k * sin (k*x) + k * c2 * cos(k*x)
Wegen der Bedingung y ''(0 ) = 0 muss c2 null sein.
Wir haben somit die partikuläre Lösung
für die verlangten Bedingungen:
y (x) = - 2 / k * cos ( k* x ) + 2 / k mit
y'(x) = 2* sin (k*x )
y ''(x) = 2* k * cos (k*x )
Einsatz von L:
Bedingung: y '' (L ) = 2* k * cos ( k * L ) = 0 , daraus:
k* L= Pi / 2 oder k * L = 3 * Pi / 2 usw. , somit:
k1 = Pi / (2 * L ) , k2 = 3 * Pi / ( 2 * L )
Gruss
H.R.Moser,megamath.
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