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Beitrag |
    
Lars
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 19:14: | 
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hallo erstmal,
und zwar lautet die aufgabe, bei der ich nicht weiter komme folgend:
gegeben ist fa(x)=-x*ln(ax²) (a element R; a>0)
Für jedes a existiert eine Tangente ta an den Graphen der Funktion fa im Schnittpunkt S(x>0;0) des Graphen mit der x-Achse.
Ermitteln sie eine Gleichung dieser Tangente.
Durch die x-Achse, die Tangente ta und durch die Gerade, die durch den Koordinatenursprung und den jeweiligen lokalen Maximumpkt bestimmt ist, wird für jedes a ein Dreieck begrenzt. Weisen Sie nach, dass alles so gebildeten Dreiecke zu einander ähnlich sind.
und falls ihr noch ganz nett seit, könnt ihr mir auch noch folgende frage beantworten:
gegeben ist die selbe Funktion wie oben
Ermitteln sie eine Gleichung der Funktion, auf deren Graph alle lokalen Extrempkt. der Funktion fa liegen.
schon Mal im Voraus danke, wenn mir jemand hilft. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 22:11: |
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Hallo Lars,
Hier ist schon mal der Anfang der Aufgabe:
f(x)=-x*ln(ax²)
Nullstelle für x>0:
ln(ax²)=0
ax²=1
x=1/W(a)
========
f'(x)=-ln(ax²)-2
Steigung im Punkt S:
f'(1/W(a))= -2 also unabhängig von a.
Dies ist auch die Steigung der Tangente.
Alle Tangenten haben die gleiche Steigung, nämlich: -2.
======
Gleichung der Tangente:
t(x)=f(1/W(a)+f'(1/W(a))*(x-1/W(a))
t(x)=0-2*(x-1/W(a))
t(x)=-2x+2/W(a)
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SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 00:07: |
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Hi Lars
Weil wie das spaeter bei solchen Aufgaben sowieso immer brauchen, und Zwischenrechnungen u.U die Lesbarkeit beeintraechtigen, berechnen wir mal die erste Ableitung:
f'(x)=-ln(ax²)-2
Jetzt suchen wir nach einer positiven Nullstelle der Funktion: (w heisst Wurzel)
f(x)=0 wg x>0
ln(ax²)=0
ax²=1 wg a,x>0
x=w(1/a) das setze ich gleich c
Dann ist die Gleichung der Tangente an der Stelle c:
t(x)=f(c)+f'(c)(x-c)
=0-2(x-w(1/a))=-2x-2*w(1/a)
Zwei Dreiecke sind aehnlich, wenn ihre Winkel gleich sind, und da 2 gleiche Winkel die Gleichheit des dritten implizieren, reicht es zu zeigen, dass die beiden Winkel an der x-Achse gleich sind. Und da wiederum die x-Achse immer gleich bleibt, beobachten wir nur, ob sich die Steigung der anderen Seite aendert. Die rechte Seite haben wir schon betrachtet, und gesehen, dass die Steigung immer -2 ist, unabhaengig von a.
Jetzt zu der anderen Ecke:
Maximum finden:
f'(x)=0
ln(ax²)=-2
ax²=1/e²
x²=1/(ae²)
x=±1/(w(a)e)
Um zu entscheiden, welche der beiden Stellen ein Maximum ist, berechnen wir die zweite Ableitung:
f''(x)=-1/(ax²)*2ax=-2/x<0 fuer x>0
Also ist an der positiven Stelle das Maximum, und da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist der andere Punkt ein Minimum.
Die Steigung ist Dy/Dx. Hier ist es besonders einfach, da der eine Punkt (0,0) ist, daher vereinfacht sich das zu f(x)/x.
Den x-Wert kennen wir, jetzt berechnen wir f(1/(w(a)e))=-1/(w(a)e)*ln(a*1/(ae²)=-1/(w(a)e)*(-2)=2/(w(a)e)
Also ist f(x)/x=2, also auch unabhaegig von a, was zu beweisen war.
Die zweite Aufgabe:
ganz formal setzen wir an, wobei wir statt x jeweils die Stelle des Extremums einsetzen:
g(1/(w(a)e))=2/(w(a)e)
und nun substituieren wir x=1/(w(a)e):
Das ergibt g(x)=2x
Es war auch klar, dass diese Fuktion linear sein muss, damit die Gerade durch den Nullpunkt und diese Punkte immer die gleiche Steigung hat.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 08:23: |
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Hallo SpockGeiger,
kleine Korrektur,
Wie ich vorexerziert habe, ist die Gleichung der Tangente:
t(x)= -2x + 2/W(a)
(nicht: t(x)= -2x-2*W(1/a)) |
Lars
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 11:24: |
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danke erstmal an euch beide, ihr habt mir echt geholfen.
Aber spockgeiger, warum muß man für die gerade die durch den Koordinatenursprung und die Extrempkt geht so ansetzen: g(x)=f''(x) ?
Und dann hätte ich Mal noch ne Frage:
für die selbe Funktion fa(x)=-x*ln(ax²)
Es gibt genau eine Gerade mit y=c (c element R; c>0), die mit dem Graphen der Funktion
f(x)=-x*ln(0.1x²) genau zwei Punkte P1 und P2 gemeinsam hat. Ermitteln sie die Länge der Strecke P1P2.
Ich hab da für die Strecke P1P2=5.34 raus, aber halt ohne Rechnungsansatz, eher mehr aus dem Probieren raus. Könnt ihr mir da nochmal helfen?
Danke Lars |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 12:58: |
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Hallo Lars,
Zu deiner neuen Frage:
c ist der y-Wert des Maximums.
Mit diesem c ist dann der andere Schnittpunkt leicht zu ermitteln.
Die Strecke P1P2 entspricht dann der Differenz der x-Werte der Punkte P1 und P2.
=====================
Die Rechnung ergibt: c= 2,32667
und P1P2 = 5,34102
=================== |
Lars
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 17:05: |
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ich danke dir Fern,
werde mal auf dich zurückkommen, falls ich Mal wieder ein Problem habe.
cu Lars |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 17:41: |
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Hi Fern
Entschuldige mal, dass ich etwas ruppig werde, aber grundlegende Rechenregeln sollte man beherrschen:
2/W(a)=2*1/W(a)=2*W(1)/W(a)=2*W(1/a) !!!
Die Wurzel aus einem Quotienten ist der Quotient der Wurzeln!!!
viele Gruesse
SpockGeiger |
Lars
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 19:14: |
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Spockgeiger:
warum muß man für die gerade die durch den Koordinatenursprung und die Extrempunkte so ansetzen?: g(x)=f''(x) kapier ich irgendwie nicht.
gruß Lars |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 19:26: |
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Hallo SpockGeiger,
Deine Kentnisse über "grunglegende Rechenregeln" scheinen ja enorm zu sein. Was hat dies mit meinem Hinweis zu tun?
Ich hatte auf deinen Fehler in der Angabe der Tangentengleichung hingewiesen, die du mit:
t(x)= -2x-2W(1/a) angegeben hattest.
Die richtige Tangentengleichung lautet aber:
t(x)= -2x+2/W(a)
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Bevor du ruppig wirst, sollst du darüber mal nachdenken! |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 20:33: |
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Hi
Fern
Scheint heute nicht mein Tag zu sein (oder war es gestern?). Enschuldige bitte. Du hast natuerlich voellig recht, da ich mich gleich zweimal entschuldigen muss, mach ich das auch gleich hier. (dazu gleich noch was)
Muss wohl daran gelegen haben, dass ich nicht allzu lange vorher ein paar unqualifizierte Kommentare gelesen hatte, und Deine dazugezaehlt habe, nochmals bitte ich um Entschuldigung.
Was die explizite Darstellung anbelangt: Die Summe ist natuerlich eine explizite Darstellung, wenn auch nicht sehr bequem zu rechnen, ich hab sie daher als rekursive Darstellung angesehen. Vielleicht haette ich es Formel nennen sollen, oder wie wuerdest Du eine "vernuenftige, oder besser gesagt, moeglichst kurze" Dartstellung fuer eine Summe, in der die Anzahl der Summanden abhaengig von n ist? Irgendeine Bezeichnung muss es doch dafuer geben.
mit gesenktem, demuetigen Haupt
viele Gruesse
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. September, 2000 - 20:35: |
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Zusatz:
Ich hab da Vorzeichen gar nicht beachtet, ich dachte, Du wolltest mir sagen, das 1/w(a)¹w(1/a)
SpockGeiger |
Kim
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 22:07: |
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Dringend!
Gegeben f(x)= 1/9 x hoch 3 - 4/3 x
aufgabe: die Tangente im Hochpunkt P1 (x1 ; y1) (der hochpunkt hat die werte (-2 ; 16/9 ) ) schneidet den Graphen in einem weiteren Punkt
P2 (x2 ; y2); bestS<caron>tigen sie, dass x2 = -2x1 ist.
(zeichnerisch ist mir das gelungen!)
Zeigen sie, dass die obige Beziehung fŸr jede Funktion f(x) = ax hoch 3 + bx (mit a*b < 0) gilt.
MŸsste bis spS<caron>testens Do die Ls<caron>sung haben
Kim |
gerd.c
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 22:52: |
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f(x) = 1/9*x^3 - 4/3*x
f'(x) = 1/3*x^2 - 4/3
Die Tangente in P1(-2,16/9) hat also die Steigung:
1/3*(-2)^2 - 4/3 = 0
und den Achsenabschnitt 16/9.
Für P2(x2,y2) = P2(-2*x1,16/9) gilt:
(Y2 muß gleich Y1 sein, denn die Tangente in P1 hat ja die Steigung 0)
f(x2)= f(-2x1) = f(4) = 1/9*(4^3)-4/3*4
= 64/9 - 16/3 = 64/9 - 48/9 = 16/9 |
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