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Robert Lange (Robertsms)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 13:38: | 
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Es ist zu beweisen, daß 2^n > n^2 ist,mit n e N und n>4.
Es wird so gemacht:
i) n=5: 32>25 erfüllt
ii) I.V.: 2^n > n^2 => 2^n+1 > 2n^2 ???
Für n größergleich 3 folgt: n größergleich 3 > 2+(1/n) => 2n^2=n^2+n^2 >n^2+n(2+1/n)=n^2+2n+1 =(n+1)^2 =>2^(n+1)>(n+1)^2
bei den drei Fragezeichen versteh ich nicht, warum
auf einmal 2n^2 gesetzt wird. Danke für alle Mühen. Gruß Robi |
tom
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 13:52: |
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Hallo Robert,
meiner Meinung nach müßte gezeigt werden, daß 2^(n+1) > (n+1)² gilt.
Warum machst Du dann auf einmal für n größergleich 3 weiter, wenn n eigentlich größer 4 sein sollte?
gruss
tom |
Robert Lange (Robertsms)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 18:12: |
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Hi Tom,
Wie das mit der 3 entsteht kann ich Dir nicht sagen, ab dem Term vor den drei Fragezeichen versteh ich auch nur Bahnhof. Die Lösung ist aus
einer Aufgabensammlung vorgegeben.
Gruß Robi |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 20:51: |
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Hi Robi
bei den fragezeichen ist die Klammerung falsch. Es muesste heissen:
2n>n² daraus folgt mit Multiplikation beider Seiten mit 2:
2+2n=2n+1>2n²
Naechster Schritt:
Es steht nur da, dass 3>2+1/n fuer n³3, es gilt sogar auch fuer n=2. Ansonsten muesste die Ungleichung aber klar sein, oder??? Beides reicht aber, da wirn>4 vorausgesetz haben, und daraus folgt ja n³3. Beachte: benutzt man eine Aussage, die ueber einem groesseren Bereich Gueltigkeit hat, ausser dem vorausgesetzten, so ist die Argumentation immer noch richtig.
Ich schreibe jetzt alle Umformungen mit Erklaerung hin:
2n^2=n^2+n^2 das ist wohl klar, oder?
Zwischenschritt von mir:
n^2+n*n
Da nach Voraussetzung n>2, kann man die obige Beobachtung einsetzen:
>n^2+n(2+1/n)=n^2+2n+1
Nach der binomischen Formel:
=(n+1)^2
Wenn man jetzt die ganze Ungleichungskette liest, folgt:
2^(n+1)>(n+1)^2
viele Gruesse
SpockGeiger |
Robert Lange (Robertsms)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. September, 2000 - 12:47: |
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Hallo Spockgeiger,
Vielen Dank für die Erklärung.
Gruß Robi |
darky
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 16:04: |
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Hallo SpockGeiger!
Hast du dich da vertippt, oder kapier ich da was nicht ....
ich gehe bei der eufgabe her und beweise zuerstmal
2^1>1 stimmt
dann sag ich aufgrund von obigem, dass
für ein belibiges, aber fixes n
die Aussage 2^n>n^2 stimmt
ich muß dann also noch beweisen:
2^n+1 (also 2 * 2^n und nicht wie du schreibst 2 + 2^n) > (n+1)^2 ?!?!?!?!?!?!?!!?!?!?!?!?
aber da steig ich aus ....
bitte erklären ....
danke |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. September, 2000 - 19:01: |
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Hi Darky
hast Recht, natuerlich hab ich mich vertippt, hab ja gesagt, dass ich mit 2 multipliziere.
Aber tu mir bitte einen Gefallen! Klammern sind keine mathematische Muellhalde.
Es hat schon Sinn, dass ich 2^(n+1) schreibe, dass ist nicht das gleiche wie Dein 2^n+1.
viele Gruesse
SpockGeiger |
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