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Merli
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 21:02: | 
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Ich würde gerne wissen, ob ich den beweis mit der vollst. Induktion hier richtig angewandt habe!!!B I T T E schaut doch ma nach!! DANKE!!!!
für x>0 und n>=2 gilt (1+x)n > 1+nx
1. Anfang
n=2
(1+x)²>1+2x richtig!!
2. Schluss
a. Annahme
n>=2 gilt für jede beliebige Zahl k
(1+x)k > 1+kx
b. Behauptung
gilt folglich auch für k+1
(1+x)k+1 > 1+x(k+1)
Beweis:
(1+x)k * (1+x) > 1+x(k+1) * (1+x)
(1+x)k * (1+x) >(1+x)k lt. Annahme
(1+x)k+1 > (1+x)k
q.e.d. |
merli
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 21:04: |
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da is wohl irgendwas mit den hochzahlen schiefgegangen!!!!
also die sollten eigentlich oben stehen!!!
immer das hinter dem (1+x) !!! SORRY... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 08:46: |
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Hi Merli,
Dein Induktionsbeweis der Bernoullischen Ungleichung
ist im wesentlichen richtig.
Auf der rechten Seite in der Zeile unmittelbar nach
dem Wort "Beweis" ist zusätzlich eine Klammer nötig.
Ferner muss vorausgesetzt werden, dass der Faktor (1+x) ,
mit welchem Du beide Seiten multiplizierst,
positiv ist, ansonsten der Sinn der Ungleichung geändert
werden müsste
Somit ist die Voraussetzung wesentlich, dass x > -1 gilt !
Ich möchte noch einige Ergänzungen anbringen
1) Jakob Bernoulli (1654 - 1705) veröffentlichte diese
Ungleichung im Jahr 1689.
Sie kann auf zwei Arten formuliert werden:
a ) ( 1 + a ) ^ n > 1 + n a
( n = 2,3... ; a ungleich null und a > - 1 )
b ) (1 + a ) ^ n > = 1 + na
( n = 1,2,... ; a > = -1 )..
Das Gleichheitszeichen gilt:
1. für beliebige n und a =0
2. für beliebige a und n = 1
2) Die Ungleichung gilt auch für irrationale Exponenten s >1
( 1 + a ) ^ s > 1 + s a für s > 1, a > -1 und a ungleich null.
Der Beweis kann mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung
geführt werden:
Man wendet ihn an auf (1+x ) ^ s als Funktion in x zwischen
den Werten x = 0 und x = a mit Fallunterscheidung
(1) -1 < a < 0 (2) a > 0
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
merli
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 11:06: |
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merci, dass du dir das angeguckt hast!!
die klausur is wohl auch gut gelaufen!!! |
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