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Till (Moridin)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 11:45: | 
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Zwar ist die Formel zum Berechnen bekannt
{(summe von)j^2=(n(n+1)(2n+1))/6}
Ich weis aber nicht wie man es beweisen kann.
Ich würde mich freuen wenn mir jemand hilft. |
Oliver
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 12:54: |
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Hi Till,
das kannst Du mit Hilfe der "Vollstaendigen Induktion" loesen.
Du musst beweisen, dass die Gleichung fuer 1 gilt, dann setzt Du voraus, dass sie fuer n gilt, und
dann wiederum beweisen fuer n+1. Dann hast Du es fuer alle natuerlichen Zahlen bewiesen.
Gruss Oli |
Oliver
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 13:05: |
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Versuche mal damit die Aufgabe zu loesen. Falls es nicht klappt, kannst Du mich nochmal fragen. Viel Glueck, Oli |
Till (Moridin)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 15:47: |
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Na OK ich hab mich vielleicht nicht klar ausgedrückt eigentlich wollte ich wissen wie man sie herleiten kann... |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 30. September, 2000 - 17:14: |
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Hi Till
Jede endliche Summe von der Form Sn i=1ik ist ein Polynom von Grad k+1, wobei der konstante Term wegfaellt. Daher kann man ein allgemeines Polynom von diesem Grad einsetzen, n Loesungen auf beiden Seiten einsetzen, und dann das lineare Gleichungssystem loesen.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Till (Moridin)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 11:58: |
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Hey mann tut mir leid aber ich bräuchte das noch ein bisschen genauer erklärt. |
habac
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 14:21: |
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Ein anderer Beweis geht mit der Formel
(x + 1)3 = x3 + 3*x2 +3*x + 1
Setze für x die Zahlen 1, 2, 3, ..., n ein:
23 = 13 + 3*12 + 3*1 + 1
33 = 23 + 3*22 + 3*2 + 1
43 = 33 + 3*32 + 3*3 + 1
...
...
(n+1)3 = n3 +3*n2 + 3*n + 1
Jetzt zählst du die linken und die rechten Seiten aller Gleichungen zusammen und erhälst eine neue Gleichung.
Alle 3. Potenzen mit Ausnahme von (n+1)3 links und 13 rechts heben sich auf. Die Summe der zweite Spalte auf der rechten Seite ergibt das Dreifache der gesuchten Summenformel. Die 3. Spalte ergibt das Dreifache der Summ der n ersten natürlichen Zahlen, also 3n(n+1)/2. Die letzte Spalte ergibt n. Jetzt die Summengleichung nach der gesuchten Grösse auflösen.
Gruss
habac |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Oktober, 2000 - 15:46: |
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Hi Till
Dann rechne ich das fuer Dein Beispiel vor. Die Summe der ersten n Quadrate ist ein Polynom Grad 3, mit verschwindendem konstanten Term. Als setzen wir ganz allgemein an: an3+bn2+cn
Jetzt setzen wir nacheinader die Zahlen 1 bis 3 in diesen Term ein, und setzen das Ergebnis mit der leicht auszurechnenden Summe:
a+b+c=1
8a+4b+2c=1+4=5
27a+9b+3c=1+4+9=14
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen in 3 Unbekannten, rel. einfach zu loesen. Setzt man die Variablen a,b,c in das Ausgangspolynom ein, ist dieser das Ergebnis.
viele Gruesse
SpockGeiger |
Till (Moridin)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Oktober, 2000 - 03:26: |
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Danke das hat mir sehr geholfen. :-) |
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