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Beitrag |
    
anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 23:09: | 
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Hallo;
und habe hier die Funktion f(x)= (x hoch2) * (e hochx). Nun soll ich die Monotoniebereiche bestimmen. Da die Funktion nur eine Nullstelle hat liegen diese doch von 0 bis unendlich positiv bzw. negativ, oder? Wie sieht dabei der Rechenweg aus? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 00:41: |
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Hallo anonym,
Die Monotoniebereiche richten sich nicht nach der Nullstelle der Funktion, sondern nach den Nullstellen der ersten Ableitung, wenn du mit Nullstellen argumentieren willst.
Z. B.: Zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt ist eine Funktion monoton fallend, wenn kein Sattelpunkt (mit Steigung null) drin liegt, sogar streng.
Der Rechenweg ist also:
f'(x) ausrechnen, gleich Null setzen => x=0 V x=-2
bei -2 rel. Hochpunkt, bei x=0 Tiefpunkt, d. h. zwischen -2 und 0 ist f(x) monoton fallend. Zwischen beiden Stellen ist f'(x)<0.
von -oo bis -2 monoton steigend, denn da ist f'(x)>0, von 0 bis oo ebenfalls. |
anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 02:12: |
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Monotonieverhalten zwischen Tiefpunkt (links) und Hochpunkt (weiter rechts) ist monoton steigend, wenn kein Sattelpunkt (WP mit Steigung Null) dazwischen liegt, sogar streng mon.
Hier ist es umgekehrt:
Willst du Nullstellen ausrechnen, gerne, aber nicht die von f(x), sondern von f'(x):
erhalte x=-2 V x=0, H bei -2 und T bei 0
f(x) ist zwischen H und T streng monoton fallend, da f'(x)<0 für x€[-2;0], außerhalb dieses ist f'(x) streng mon. steigend, entsprechend f'(x)>0
es genügt also, zu zeigen, wie die Relation f'(x) zu Null ist: größer oder kleiner. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 12:29: |
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Hallo anonym,
Könntest du mal näher erklären, was ein Sattelpunkt (WP mit Steigung Null) mit strenger Monotonie zu tun hat? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 20:07: |
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Hallo Fern,
wenn anonym um 3:12 Uhr mit den Sattelpunkten falsch argumentiert hat, dann müsste ich es ja auch haben, da das ja nochmal neu wiedergegeben wurde, was ich mir gedacht habe.
Ich bin der Ansicht, "monoton fallend" und "streng monoton fallend" unterscheiden sich dadurch, dass bei ersterem eine Steigung Null sein kann, was bei "streng monoton" nicht vorkommen darf. Also darf eine z. B. monoton steigende Kurve wie die von ex keinen Sattelpunkt haben, damit sie auf ganz IR streng monoton steigend ist, hat sie hingegen wie z. B. bei x3 einen Sattelpunkt in x=0, so ist sie "bloß" monoton steigend, aber nicht streng.
Oder wie? |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 21:41: |
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Hallo B.Bernd,
Ich hatte nur den Beitrag von anonym gelesen; nun sehe ich aber, dass du genauso argumentiert hast.
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Definition: Es sei I ein Intervall von R.
Eine Funktion f auf I heißt (streng) monoton wachsend, wenn für alle x,y aus I gilt:
Aus x < y folgt f(x) £ f(y) (f(x) < f(y))
(Entsprechendes gilt für "monoton fallend").
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Damit ist z.B. die Funktion f(x) = x³ streng monoton wachsend.
Aus der Definition folgt:
Gilt für jeden Wert x aus I: f'(x) > 0, so ist die Funktion streng monoton wachsend.
Aber nicht umgekehrt!
Eine streng monoton wachsende Funktion muss nicht unbedingt überall f'(x)>0 haben.
Gruß, Fern |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 04:04: |
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Hallo Fern,
nach deinen letzten Bemerkungen sehe ich, dass ich den Zusammenhang (Strenge) Monotonie und f'(x) ganz falsch verstanden habe, und erst nochmal Globalen Monotoniesatz, lokalen Wachstumssatz & Co durchsehen muss.
Wie um 21:07 Uhr geschrieben hatte ich x³ für ein Beispiel gehalten, aber mir fällt jetzt keins ein, könntest du mir bitte ein Beispiel nennen, und zwar für
eine Funktion, die monoton wachsend ist, aber nicht streng.
Danke,
Gruß, Bernd |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 10:09: |
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Hallo Bernd,
Beispiele für Funktionen, die monoton wachsen aber nicht streng monoton wachsen:
1)
f(x)=25
Horizontale Gerade. Ist sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend.
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2)
f(x) = sign(x)
Ist monoton steigend.
Es ist:
f=-1 für x<0
f=0 für x=0
f=1 für x>0
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3)
f(x)=E(x) oder f(x)=[x] geschrieben.
Die sogenannte Entier-Funktion. (=Treppenfunktion)
(Gibt die größte ganze Zahl kleiner gleich x an).
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All diese Funktionen haben irgendwo im betrachteten Intervall eine horizontale Strecke als Schaubild.
f'(x) muss in einem Intervall =0 sein.
f'(x)=0 in einem oder mehreren Punkten genügt nicht.
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Gruß, Fern |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 12:08: |
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Hallo Fern,
bevor ich mich zu den Sätzen zurückziehe, noch eine Frage: eine auf einem Intervall I (nicht streng) monoton wachsende Funktion, die auf I differenzierbar ist und deren Ableitung innerhalb I nicht Null ist, gibt es wohl nicht ?
Gruß, Bernd |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 13:05: |
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Hallo Bernd,
Nein, die gibt es nicht.
Wenn f'(x) nicht Null ist, dann muss ja überall f'(x)>0 sein.
Gilt aber überall f'(x)>0 so ist die Funktion streng monoton. (siehe oben).
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Gruß, Fern |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 23:12: |
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Danke Fern, vielen Dank
Gruß, Bernd |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Oktober, 2000 - 21:58: |
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Hallo Fern,
ich habe nachher erst gemerkt, dass ich um 13:08 Uhr die falsche Frage gestellt habe, und so habe ich auch nicht die Antwort erhalten können, die ich eigentlich haben wollte.
Und zwar brauchte ich kein Beispiel für eine Funktion, die auf I differenzierbar ist und deren Ableitung innerhalb I nicht Null (also nirgends Null) ist, sondern Beispiele für
Funktionen, die auf I
1.) monoton wachsend sind,
2.) aber nicht streng monoton,
3.) deren Ableitung wenigstens an einer Stelle von I nicht Null ist (aber durchaus irgendwo in I Null sein darf, nur eben nicht in ganz I)
hoffend, dass dies hier gefunden wird und dass du Beispiele findest
Jetzt schonmal dankend
Bernd |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Oktober, 2000 - 09:49: |
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Hallo Bernd,
Beispiel:
f(x) = | 1 für x<0
| x²+1 für x³0
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B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Oktober, 2000 - 23:25: |
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Hallo Fern,
ich danke dir für die Nennung aller vorhergehenden Beispiele.
Wie du sicher schon gemerkt hast, bin ich dabei, mir eine neue Merkregel oder auch Eselsbrücke zu basteln, und zwar, um die streng monotonen Funktionen von den nicht strengen abzugrenzen.
ich sende jetzt in kleineren Portionen, weil alles auf einmal z. Zt. nicht angenommen wird |
bb
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Oktober, 2000 - 23:26: |
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Na, klappt ja prima.
Und zwar vermute ich jetzt:
dass alle streng monotonen Funktionen (die also an jeder Stelle x ÎDef-Ber. entweder streng mon. wachsend oder streng mon. fallend, aber nie {nur monoton, aber nicht streng...} sind) zu einer Menge von Funktionen gehören, deren Sammelbezeichnung ich nicht genau weiß, ich glaube, das ist es, was man "elementare Funktionen" nennt. (Gibt es eigentlich eine Definition (oder allg. Abgrenzung, nicht nur für Funktionen) des Begriffs "elementar"? - Das taucht hier im Board so oft auf, z. B. "...ist nicht elementar lösbar" oder in ähnlichen Aussagen - was ist z. B. der Unterschied zw. "elementar lösbar" und "analytisch lösbar"?) |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Oktober, 2000 - 23:27: |
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Andersherum halte ich jetzt alle elementaren Funktionen für streng, mit einer bestimmten Menge von Funktionen als Ausnahme: jeder konstanten Funktion f(x)=c, oder gibt es weitere Ausnahmen?
(Ich setze mal voraus, dass die Signum-, Betrags-, Entier-, etc... Funktion nicht zu den elementaren Funktionen gehören)
Vielen Dank
Gruß, Bernd
Jetzt interessiert mich nur noch eines:
Was hast du gemacht, dass du meine letzte Frage vom 11.Oktober so schnell gefunden hast, wo doch die "letzte 48h"-Anzeige z.Zt. nicht funktioniert? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Oktober, 2000 - 17:15: |
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Fern? Hallo? |
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