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eva (Maus)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 16:21: | 
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also, hier ist meine hausaufgabe, die mir noch graue haare wachsen lässt!!! bitte helft mir--soll die antworten bis morgen in meinem heft stehen haben!
1.
Aus einem 36cm langen draht soll das kantenmodell einer quadratischen säule hergestellt werden. wie lang sind die kanten zu wählen, damit die säule maximales volumen hat?
2.
aus einem rechteckigen stück pappe mit den seitenlängen 40cm und 25cm soll man einen kasten ohne deckel erstellen, indem man an jeder ecke ein quadrat ausschneidet und die entstehenden seitenflächen nach oben biegt. der kasten soll ein möglichst großes volumen haben. |
Melanie (Amelanie)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 19:09: |
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Hallo Eva!
Da ich leider momentan nicht so viel Zeit habe, um die Aufgabe 2 zu rechnen, gebe ich dir erst mal nur die Lösung für die erste Aufgabe an.
Also, fang ich mal mit der Hauptbedingung an:
Das Volumen der quadratischen Säule soll maximal werden. Da die Säule quadratisch ist, sind die Seiten der Grundfläche gleich lang. Es ergibt sich dann als Hauptbedingung V(a,b)=a²+b.
a ist die Länge der Seiten der Grundfläche und b ist die Höhe der Säule. Als Nebenbedingung ergibt sich: 8a+4b=36 |-8b|:4
b=9-2b
Aus diesen beiden Bedingungen ergibt sich als Zielfunktion V(a)=a²(9-2a)=9a²-2a³
Hiervon ist das lokale Maximum zu bestimmen(Löse V'(a)=0, prüfe V''(a)<0)
V(a)=9a²-2a³
V'(a)=18a-6a²
Löse:0=18a-6a² |a ausklammern
a(18-6a)=0
a=0 oder 18-6a=0
a=0 oder a=3
V''(a)=18-12a
Wenn a aber 0 ist, ergibt sich kein Körper, also muß die zweite Ableitung nur für den Wert 3 gebildet werden.
V''(3)=18-12*3=-18<0 also liegt hier ein Maximum vor.
Das maximale Volumen der Säule beträgt somit bei a=3cm un b=3cm V=(3cm)²*3cm=27cm³
Tschüß Melanie |
Goofy (Goofy)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 21:29: |
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mal ne frage MELANIE!!!!
wie kommst du auf die nebenbedingung 8a+4b=36???
36 is ja klar aber 8a+4b????????#
wär schön wenn du es mir erklären könntest!!!!
danke
goofy |
Melanie (Amelanie)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. September, 2000 - 18:12: |
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Hallo Goofy!
Die Länge des Drahtes (also 36 cm) bestimmt die Gesamtlänge aller Seiten der Säule. Gehen wir mal von einer beliebigen Säule, also einer nicht-quadratischen, aus, so gibt es insgesamt zwölf Kanten, in drei verschiedenen Längen. Man kann diese Längen einfachhalber mit Breite, Länge und Höhe bezeichnen. Es gibt also 4 Seiten der Breite, 4 Seiten der Länge und 4 Seiten der Höhe. Bei einer quadratischen Säule wären Breite und Länge gleich lang. Also gäb es vier Seiten der Höhe, und 8 Seiten der Breite/Länge. Bezeichnet man die 4 Seiten jeweils mit b und die acht Seiten jeweils mit a, so ergibt sich die Nebenbeingung 8a+4b=36. Ich hoffe, du hast meine Erklärung verstanden. Wenn nicht, frag doch einfach noch mal nach, dann versuh ich es noch mal verständlich zu erklären. Tschüß Melanie |
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