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Enrico
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 16:07: | 
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Hallo, hab da mal ne Frage:
geg.: y=ln(x²-1) xeR; X<-1; x>1
Weisen Sie nach, daß für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion f folgende Gleichung gilt:
(x²+3)*f'(x)*f''(x)+(x²+1)*f'''(x)=0
Vielen Dank!! |
R.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 23:23: |
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was ist die Funktion f? Ist das gleich y?
R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. September, 2000 - 14:49: |
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Hi Enrico,
Um den Mechanismus der Ableitungen bei Deiner Aufgabe
besser durchschauen zu können, löse ich sie nochmals
unter einer etwas allgemeineren Voraussetzung.
Die Funkton y = y(x) sei mittels der Funktion u = u(x)
wie folgt gegeben:
y = y(x) = ln [u(x)] ; erst ganz am Schluss werden wir
u durch x ^ 2 - 1 ersetzen.
Wir erhalten die aufeinanderfolgenden Ableitungen:
y ' = u ^/ u
y '' = [u u'' -u ' ^ 2 ] / u ^ 2
y ''' = [u ^2 * {u ' u'' + u u ''' - 2 u' u''} - 2 u u' (u u''- u' ^ 2)] / u^4
= [ u ( u u''' - u' u'' ) - 2 u ' ( u u'' - u ' ^ 2 ) ] / u ^ 3
= [ u ^ 2 u '''- u u ' u '' - 2 u u' u'' + 2 u' ^3 ] / u ^ 3
= [ u ^ 2 u ''' - 3 u u ' u '' + 2 u ' ^ 3 ] / u ^ 3 .
Wir setzen diese Ableitungen in den Term T ein und erhalten
aus T = ( x ^ 2 +3 )* y ' * y '' + ( x ^ 2 + 1 ) * y '''
einen Bruch mit dem Zähler Z und dem Nenner u ^ 3
Nach gehöriger Umformung erhalten wir für Z :
Z = x ^ 2 * {u ' ^3 - 2 u u ' u '' + u ^ 2 u ''' } + u ^ 2 u''' - u ' ^3
Setz man für u = x ^ 2 - 1 , u' = 2 x , u'' = 2 , u''' = 0 ein ,
so wird Z und damit auch T identisch null; q.e.d.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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